Bài 1.76 trang 42 SBT hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(x + y - 2 = 0\) . Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) biến \(d\) thành đường thẳng có phương trình

A. \(2x + 2y = 0\)

B. \(2x + 2y - 4 = 0\)

C. \(x + y + 4 = 0\)

D. \(x + y - 4 = 0\)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình \(d':x + y + c = 0\).

Lấy \(A\left( {0;2} \right) \in d\), gọi \(A' = {V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( A \right)\) thì \(\overrightarrow {OA'}  =  - 2\overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 =  - 2\left( {0 - 0} \right)\\y' - 0 =  - 2\left( {2 - 0} \right)\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' =  - 4\end{array} \right.\).

Suy ra \(A'\left( {0; - 4} \right)\).

Mà \(A' \in d'\) nên \(0 + \left( { - 4} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 4\).

Vậy \(d':x + y + 4 = 0\).

Chọn C.

Cách khác:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc d.

\(M' = {V_{\left( {O;-2} \right)}}\left( M \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = -2\overrightarrow {OM} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = -2x\\
y' = -2y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = -\frac{{x'}}{2}\\
y = -\frac{{y'}}{2}
\end{array} \right.\)

Do M thuộc d nên thay \(x = -\frac{{x'}}{2}\) và \(y = -\frac{{y'}}{2}\) vào phương trình của d ta được:

\(-\frac{{x'}}{2} - \frac{{y'}}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\)

Vậy \(d':x + y + 4 = 0\).

 soanvan.me