Đề bài

Trong không gian cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(A’B’C’D’\) chỉ có chung nhau một điểm \(A\). Chứng minh rằng các vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {DD'} \) đồng phẳng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {CC'} \) suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Ta có :

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB'} ,\)

\(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AD'} \) 

Do đó \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {DD'}  \) \(= \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AD'} } \right)\)

Vì \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \) và \(\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {AC'} \)

Nên \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {DD'}  = \left( {\overrightarrow {C{\rm{D}}}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \overrightarrow {AC'} \)

Vậy \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {CC'} \)

Hệ thức \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {CC'} \) biểu thị sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {DD'} \).

 soanvan.me