Đề bài
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{D}}C(c - c - c)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) hay \(\widehat {MB{\rm{D}}} = \widehat {NC{\rm{D}}}\)
- Chứng minh \(\Delta BNC = \Delta CMB\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: AB = AC và BM = CN hay
AM = AN
Lời giải chi tiết
Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (giả thiết),
BD = CD (do D là trung điểm của BC),
AD là cạnh chung
Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) hay \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\).
Xét ∆BMC và ∆CNB có:
\(\widehat {BMC} = \widehat {CNB}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BC là cạnh chung,
\(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (chứng minh trên),
Do đó ∆BMC và ∆CNB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).
Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.
Mà AB = AC, BM = CN.
Suy ra AM = AN.
Vậy AM = AN.