Đề bài
Cho tam giác nhọn \(MNP.\) Gọi \(D\) là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ \(M.\) Chứng minh rằng:
a) \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}MP.NP.\sin P;\)
b) \(DP = \dfrac{MN.sinN}{tan P};\)
c) \(∆DNE\) \(\backsim\) \(∆MNP,\) trong đó \(E\) là chân đường cao của tam giác \(MNP\) kẻ từ \(P.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=c,\,AC=b,\, BC=a\) thì:
\(b=a.sin\,B=a.cos\,C\)
\(b=c.tan\,B=c.cot\,C\)
\(c=a.sin\,C=a.cos\,B\)
\(c=b.tan\,C=b.cot\,B\)
Xét các trường hợp hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = MP.sin\, P,\) suy ra:
\({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}NP.MD \) \(= \dfrac{1}{2}NP.MP\sin P.\)
b) Xét tam giác MDN vuông tại D, ta có: \(MD = MN.sin \,N\)
Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = DP.tan \,P\)
Suy ra \(DP=\dfrac{{MD}}{{\tan P}}=\dfrac{MN.sin N}{tan P}\)
c) Xét \(\Delta DMN\) và \(\Delta EPN\) có:
\(\widehat D = \widehat E\,( = 9{0^0})\)
\(\widehat N\) chung
Vậy \(\Delta DMN\) \(\backsim\) \(\Delta EPN\) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Xét \(\Delta DNE\) và \(\Delta MNP\) có:
\(\widehat N\) chung
\(\dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Vậy \(\Delta DNE\) \(\backsim\) \(\Delta MNP\) (c-g-c).
soanvan.me