Đề bài
Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(A\left( { - 2;2} \right)\)
a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d
c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}} = \overrightarrow {{n_d}} \)
+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’
Lời giải chi tiết
a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có: \( - 2 - 2.2 + 1 = - 5 \ne 0\) nên điểm A không thuộc đường thẳng d
b) Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {2;1} \right)\)
+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {2;1} \right)\): \(AH:2\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow AH:2x + y + 2 = 0\)
+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;0} \right)\)
c) Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’
Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 2;2.0 - 2} \right) \Rightarrow A'\left( {0; - 2} \right)\)