Đề bài

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Mở rộng: \({u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)

Định nghĩa CSN: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết

Kí hiệu u1, u2, u3 lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u1, u2 và u3 tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\) \( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)

Do đó \({u_1} \ne 0\).

Theo bài ra ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\
{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q - {u_1} = 3d\\
{u_2}q - {u_2} = 4d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\
{u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Xét hai trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : q ≠ 1.

Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u1≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó :

\(\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr 
& = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr 
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)

* Trường hợp 2 : q = 1.

Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\).

\( \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\)

\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)

Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)

soanvan.me