Đề bài
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM, cắt các cạnh AB, AC. Gọi \(A',B',C'\) theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên d. Chứng minh: \(BB' + CC' = 2AA'.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Định lí: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
Ta có \(BB' \bot d,CC' \bot d \Rightarrow BB'//CC'\) nên \(BB'C'C\) là hình thang.
M là trung điểm của BC (gt), \(MM' \bot d \Rightarrow MM'// BB'// CC'\) nên \(MM'\) là đường trung bình của hình thang \(BB'C'C\) ta có:
\(MM' = \dfrac{BB' + CC'} { 2}\)
\(\Rightarrow BB' + CC' = 2MM'.\)
Xét \(\Delta AA'I\) và \(\Delta MM'I\) có:
IA=IM (gt)
\(\widehat {A'} = \widehat {M'} = {90^0}\)
\(\widehat {AIA'} = \widehat {MIM'}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\Delta AA'I = \Delta MM'I\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow AA' = MM'.\)
Vậy \(BB' + CC' = 2AA'.\)
soanvan.me