Đề bài
Tứ giác ABCD có các góc đối bù nhau. Các cạnh AD và BC cắt nhau tại E ; AB và DC cắt nhau tại F. Phân giác của hai góc CED và AFD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng \(FM \bot EM.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Trong một tam giác, góc ngoài tại 1 đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.
Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường cao của tam giác.
Lời giải chi tiết
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của EM với AB và DC.
Ta có : \(\widehat {FIK} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{D_1}}\) (góc ngoài của \(\Delta EIB\))
\(\widehat {FKI} = \widehat {{E_2}} + \widehat D\)(góc ngoài của \(\Delta EKD\) )
Mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\) (giả thiết)
\(\widehat {{B_1}} = \widehat D\) (cùng bù với \(\widehat {ABC}\) )
\( \Rightarrow \widehat {FIK}\) cân tại F.
Trong tam giác cân FIK có FM là phân giác nên FM cũng là đường cao.
Suy ra \(FM \bot IK\) hay \(FM \bot EM.\)
soanvan.me