Hãy chọn câu sai:
-
A
Nếu \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
B
Nếu \(a < b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
C
Nếu \(a \ge b\) và $c < 0$ thì \(ac \le bc\).
-
D
Nếu \(a \ge b\) và $c > 0$ thì \(ac \ge bc\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Từ đó với \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac < bc\) nên A sai.
Hãy chọn câu đúng. Nếu \(a > b\) thì:
-
A
\( - 3a - 1 > - 3b - 1\)
-
B
\( - 3(a - 1) < - 3(b - 1)\)
-
C
\( - 3(a - 1) > - 3(b - 1)\)
-
D
\(3(a - 1) < 3(b - 1)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng
- Sử dụng tinh chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân
+ Với \(a > b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \( - 3\) ta được \( - 3a < - 3b\) .
Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được \( - 3a - 1 < - 3b - 1\) nên A sai.
+ Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \)\(\Leftrightarrow - 3\left( {a - 1} \right) < - 3\left( {b - 1} \right)\) nên B đúng, C sai
+ Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1\)\( \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\) nên D sai.
Hãy chọn câu sai. Nếu \(a < b\) thì:
-
A
\(4a + 1 < 4b + 5\).
-
B
$7 - 2a > 4 - 2b$.
-
C
\(a - b < 0\).
-
D
\(6 - 3a < 6 - 3b\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng
- Sử dụng tinh chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân
+ Vì \(a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\)hay \(4a + 1 < 4b + 5\) nên A đúng.
+ Vì \(a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên B đúng.
+ Vì \(a < b \Leftrightarrow a - b < b - b \Leftrightarrow a - b < 0\) nên C đúng.
+ Vì \(a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\) nên D sai.
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
-
A
\(2a + 2 > 2b + 4\)
-
B
\(2a + 2 < 2b + 4\)
-
C
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
-
D
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 1 \le b + 2\) với \(2 > 0\) ta được
\(2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\) .
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
-
A
\(x < y\)
-
B
\(x > y\)
-
C
\(x \le y\)
-
D
\(x \ge y\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Theo đề bài ta có: \( - 2x + 3 < - 2y + 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 2x + 3 - 3 < - 2y + 3 - 3\\ \Rightarrow - 2x < - 2y\\ \Rightarrow - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)x > - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)y\\ \Rightarrow x > y.\end{array}\)
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
-
A
\({a^2} < ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
B
\({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
C
\({a^2} < ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
-
D
\({a^2} > ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh.
* Với \(a > b > 0\) ta có:
+) \(a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\;\;\)
+) Ta có: \({a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\)
Mà \(a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}b > {b^3}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\\ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\;\;\end{array}\)
Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
-
A
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\)
-
B
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\)
-
C
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
-
D
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+) Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)
+) Đưa về hằng đẳng thức và đánh giá.
Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,b\) )
Nên \(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
Cho \( - 2018a < - 2018b\). Khi đó
-
A
\(a < b\)
-
B
\(a > b\)
-
C
\(a = b\)
-
D
Cả A, B, C đều sai
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có \( - 2018a < - 2018b\)
\( \Leftrightarrow - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)a > - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)b \)
\(\Leftrightarrow a > b\) .
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D
Cả A, B, C đều sai
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)
+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )
Nên \(P \ge 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Cho \(x + y > 1.\) Chọn khẳng định đúng
-
A
\({x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}\)
-
B
\({x^2} + {y^2} < \dfrac{1}{2}\)
-
C
\({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D
\({x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản
+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.
+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1)
Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2)
Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$
Chia hai vế cho $2$ được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\).
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$
$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).
Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?
-
A
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)
-
B
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < \dfrac{4}{{a + b}}\)
-
C
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{4}{{a + b}}\)
-
D
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{4}{{a + b}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Phương pháp xét hiệu \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}\)
+) Quy đồng mẫu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).
\(P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}} \)\(= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
Do \(a + b > 0;\;ab > 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b\) nên \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0\) hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).
Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(\left( 1 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\)
\(\left( 2 \right)\;\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0\)
\(\left( 3 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) < 4\)
-
A
(1)
-
B
(2)
-
C
(3)
-
D
(1); (2)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi các biểu thức đã cho để tìm khẳng định đúng.
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\;\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall x,\;y > 0.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Khẳng định (1) đúng.
\(\left( 2 \right):\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0.\)
\( \Rightarrow \) Khẳng định (2) sai.
Khẳng định (1) đúng \( \Rightarrow \) Khẳng định (3) sai.
So sánh \(m\) và \({m^2}\) với \(0 < m < 1\) .
-
A
\({m^2} > m\)
-
B
\({m^2} < m\)
-
C
\({m^2} \ge m\)
-
D
\({m^2} \le m\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Sử dụng phương pháp xét hiệu.
Xét hiệu \({m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\) ta có:
Vì \(0 < m < 1 \Rightarrow m - 1 < 0 \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) < 0.\)
Hay \({m^2} - m < 0 \Leftrightarrow {m^2} < m.\)
Vậy \({m^2} < m.\)