Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
-
A
\(ax + b = 0,\,a \ne 0\)
-
B
\(ax + b = 0\)
-
C
\(a{x^2} + b = 0\)
-
D
\(ax + by = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
-
A
${(x - 1)^2} = 9$
-
B
$\dfrac{1}{2}{x^2} - 1 = 0$
-
C
$2x - 1 = 0$
-
D
$0,3x - 4y = 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
“Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.”
Các phương trình ${(x - 1)^2} = 9$ và $\dfrac{1}{2}{x^2} - 1 = 0$ là các phương trình bậc hai.
Phương trình $0,3x - 4y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình $2x - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình nào sau đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn?
-
A
$\dfrac{x}{7} + 3 = 0$
-
B
$(x - 1)(x + 2) = 0$
-
C
$15 - 6x = 3x + 5$
-
D
$x = 3x + 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
“Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với $a$ và $b$ là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.”
Các phương trình $\dfrac{x}{7} + 3 = 0$;$15 - 6x = 3x + 5$; $x = 3x + 2$ là các phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình $(x - 1)(x + 2) = 0 $$ \Leftrightarrow x^2+x-2=0$ không là phươnng trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình $x - 12 = 6 - x$ có nghiệm là:
-
A
$x = 9$
-
B
$x = - 9$
-
C
$x = 8$
-
D
$x = - 8$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
Ta có $x - 12 = 6 - x$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + x = 6 + 12\\ \Leftrightarrow 2x = 18\\ \Leftrightarrow x = 18:2\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 9\) .
Nghiệm của phương trình $2x - 1 = 7$ là
-
A
$x = 0$
-
B
$x = 3$
-
C
$x = 4$
-
D
$x = - 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
Ta có $2x - 1 = 7$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = 7 + 1\\ \Leftrightarrow 2x = 8\\ \Leftrightarrow x = 8:2\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.
Phương trình \(2x - 3 = 12 - 3x\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A
\(0\)
-
B
\(1\)
-
C
\(2\)
-
D
Vô số nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
Ta có
\(\begin{array}{l}2x - 3 = 12 - 3x\\ \Leftrightarrow 2x + 3x = 12 + 3\\ \Leftrightarrow 5x = 15\\ \Leftrightarrow x = 15:5\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 3\) .
Cho biết \(2x - 2 = 0\) . Tính giá trị của \(5{x^2} - 2\) .
-
A
$ - 1$
-
B
$1$
-
C
$3$
-
D
$6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải phương trình bậc nhất một ẩn để tìm ra $x$, rồi thay $x$ vừa tìm được vào biểu thức cần tính giá trị.
Ta có:
\(\begin{array}{l}2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = 2\\ \Leftrightarrow x = 2:2\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Thay \(x = 1\) vào \(5{x^2} - 2\) ta được: \({5.1^2} - 2 = 5 - 2 = 3\)
Tính giá trị của \(\left( {5{x^2} + 1} \right)\left( {2x - 8} \right)\) biết \(\dfrac{1}{2}x + 15 = 17\)
-
A
$0$
-
B
$10$
-
C
$47$
-
D
$ - 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Giải phương trình bậc nhất một ẩn để tìm ra $x$, rồi thay $x$ vừa tìm được vào biểu thức cần tính giá trị.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x + 15 = 17\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = 17 - 15\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = 2\\ \Leftrightarrow x = 2:\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Thay \(x = 4\) vào \(\left( {5{x^2} + 1} \right)\left( {2x - 8} \right)\) ta được:\(\left( {{{5.4}^2} + 1} \right)\left( {2.4 - 8} \right) = \left( {{{5.4}^2} + 1} \right).0 = 0\) .
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x + 6} \right| - 2 = 4\), biết phương trình có hai nghiệm phân biệt.
-
A
$0$
-
B
$10$
-
C
$4$
-
D
$ - 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Chuyển vế đưa phương trình về dạng \(\left| A \right| = B\)
+ Giải phương trình \(\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {3x + 6} \right| - 3 = 3 \Leftrightarrow \left| {3x + 6} \right| = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 6 = 6\\3x + 6 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\3x = - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(0 + \left( { - 4} \right) = - 4\).
Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(2.\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\). Chọn khẳng định đúng.
-
A
${x_0} > 0$
-
B
${x_0} < - 2$
-
C
${x_0} > - 2$
-
D
${x_0} > - 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Sử dụng các quy tắc phá ngoặc
Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
\(\begin{array}{l}2\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 6 + 5{x^2} - 5x = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5{x^2} + 2x - 5x = 6\\ \Leftrightarrow - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \({x_0} = - 2 > - 3\).
Cho $A = \dfrac{{4x + 3}}{5} - \dfrac{{6x - 2}}{7}$ và \(B = \dfrac{{5x + 4}}{3} + 3\). Tìm giá trị của $x$ để \(A = B\).
-
A
$x = - 2$
-
B
$x = 2$
-
C
$x = 3$
-
D
$x = - 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Cho \(A = B\)
- Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn ta tìm được nghiệm (chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
Để \(A = B\) thì:
$\begin{array}{l}\dfrac{{4x + 3}}{5} - \dfrac{{6x - 2}}{7} = \dfrac{{5x + 4}}{3} + 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{21\left( {4x + 3} \right) - 15\left( {6x - 2} \right)}}{{105}} = \dfrac{{35\left( {5x + 4} \right) + 3.105}}{{105}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{84x + 63 - 90x + 30}}{{105}} = \dfrac{{175x + 455}}{{105}}\\ \Leftrightarrow 84x + 63 - 90x + 30 = 175x + 455\\ \Leftrightarrow 84x - 90x - 175x = 455 - 30 - 63\\ \Leftrightarrow - 181x = 362\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}$
Vậy để \(A = B\) thì \(x = - 2\).
Kết luận nào sau đây là đúng nhất khi nói về nghiệm \({x_0}\) của phương trình $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$
-
A
${x_0}$ là số vô tỉ
-
B
${x_0}$ là số âm
-
C
${x_0}$ là số nguyên dương lớn hơn \(2\)
-
D
${x_0}$ là số nguyên dương.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Quy đồng mẫu hai vế
+ Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
+ Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia
+ Thu gọn và giải phương trình nhận được.
Ta có $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$
\( \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{12}} = \dfrac{{36}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 6 + 3x + 9}}{{12}} = \dfrac{{36 - 4x - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow 9x + 15 = 28 - 4x\\ \Leftrightarrow 9x + 4x = 28 - 15\\ \Leftrightarrow 13x = 13\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) là số nguyên dương .
Cho hai phương trình \(7\left( {x - 1} \right) = 13 + 7x\,\,\left( 1 \right)\) và \({\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 2x + 2\left( {x + 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Chọn khẳng định đúng.
-
A
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất
-
B
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô số nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm
-
C
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có vô số nghiệm
-
D
Cả phương trình \(\left( 1 \right)\) và phương trình \(\left( 2 \right)\) đều có một nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải các phương trình theo các bước sau
Bước 1: Sử dụng các quy tắc phá ngoặc
Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).
+ Ta có
\(\begin{array}{l}7\left( {x - 1} \right) = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7 = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7x = 13 + 7\\ \Leftrightarrow 0 = 20\,\left( {VL} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lại có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 2x + 2\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2x + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - {x^2} - 2x - 2x = 4 - 4\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)
Điều này luôn đúng với mọi \(x \in R\).
Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm.
Cho phương trình: \(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2\) , với $m$ là tham số. Tìm \(m\) để phương trình vô số nghiệm.
-
A
$m=1$
-
B
$m = 2$
-
C
$m=0$
-
D
$m\in \{1;2\}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) .
+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm.
\(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2(*)\)
Xét \({m^2} - 3m + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 2m + 2 = 0 \)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0 \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m - 2 = 0\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)
+ Nếu \(m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 1\). Điều này vô lí. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
+ Nếu \(m = 2 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 0\) điều này đúng với mọi $x \in R$.
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình có vô số nghiệm.
Gọi \({x_1}\) là nghiệm của phương trình ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$ và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$. Tính \({x_1}.{x_2}\)
-
A
${x_1}.{x_2} = 4$
-
B
${x_1}.{x_2} = - 3$
-
C
${x_1}.{x_2} = 1$
-
D
${x_1}.{x_2} = 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Giải các phương trình đã cho để tìm nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) .
Sau đó tính tích \({x_1}.{x_2}\) .
+ Ta có ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$
\( \Leftrightarrow {x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^3} - x + 4 + \left( {x - 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 1} \right) - x + 4 + x - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + 2 - x + 4 + x - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x + x} \right) + \left( {2 + 2 + 4 - 4} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 4x = - 4\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Suy ra \({x_1} = 1\) .
+ Ta có $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$
\( \Leftrightarrow \dfrac{{10x}}{{10}} + \dfrac{{5\left( {2x - 7} \right)}}{{10}} = \dfrac{{50}}{{10}} - \dfrac{{5\left( {x + 6} \right)}}{{10}} + \dfrac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{10}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 10x - 35}}{{10}} = \dfrac{{50 - 5x - 30 + 6x + 2}}{{10}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 20x - 35 = x + 22\\ \Leftrightarrow 20x - x = 22 + 35\\ \Leftrightarrow 19x = 57\\ \Leftrightarrow x = 57:19\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)
Suy ra \({x_2} = 3\) .
Nên \({x_1}.{x_2} = 1.3 = 3\) .
Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình \(\left( {3m - 4} \right)x + m = 3{m^2} + 1\) có nghiệm duy nhất.
-
A
$m \ne \dfrac{4}{3}$
-
B
$m = \dfrac{4}{3}$
-
C
$m = \dfrac{3}{4}$
-
D
$m \ne \dfrac{3}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) .
+Nếu \(a \ne 0\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\).
Xét phương trình \(\left( {3m - 4} \right)x + m = 3{m^2} + 1\) có \(a = 3m - 4\)
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì
\(\begin{array}{l}a \ne 0 \Leftrightarrow 3m - 4 \ne 0\\ \Leftrightarrow 3m \ne 4 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{4}{3}\end{array}\)
Vậy \(m \ne \dfrac{4}{3}\) .
Phương trình $\dfrac{{x - 12}}{{77}} + \dfrac{{x - 11}}{{78}}$$ = \dfrac{{x - 74}}{{15}} + \dfrac{{x - 73}}{{16}}$ có nghiệm là
-
A
$x = 88$
-
B
$x = 99$
-
C
$x = 87$
-
D
$x = 89$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Trừ từng phân thức cho \(1\) rồi quy đồng để xuất hiện nhân tử chung.
+ Đặt nhân tử chung ra ngoài, rồi đánh giá và giải phương trình.
Ta có $\dfrac{{x - 12}}{{77}} + \dfrac{{x - 11}}{{78}} $$= \dfrac{{x - 74}}{{15}} + \dfrac{{x - 73}}{{16}}$
\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 12}}{{77}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 11}}{{78}} - 1} \right) \)\(= \left( {\dfrac{{x - 74}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73}}{{16}} - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 12 - 77}}{{77}}} \right) + \left( {\dfrac{{x - 11 - 78}}{{78}}} \right) \)\(= \left( {\dfrac{{x - 74 - 15}}{{15}}} \right) + \left( {\dfrac{{x - 73 - 16}}{{16}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 89}}{{77}} + \dfrac{{x - 89}}{{78}} - \dfrac{{x - 89}}{{15}} - \dfrac{{x - 89}}{{16}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 89} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0\)
Nhận thấy \(\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} \ne 0\) nên \(\left( {x - 89} \right)\left( {\dfrac{1}{{77}} + \dfrac{1}{{78}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 89 = 0 \Leftrightarrow x = 89\)
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\) là
-
A
$x = a + b + c$
-
B
$x = a - b - c$
-
C
$x = a + b - c$
-
D
$x = - \left( {a + b + c} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Chuyển vế, cộng mỗi phân số bên vế trái với số \(1\). Chia làm ba nhóm số hạng.
Thực hiện phép qui đồng từng nhóm cho hợp lý để xuất hiện nhân tử chung.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} +3=0\\\Leftrightarrow\left( {\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + b}}{{a + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + c}}{{a + b}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + a + b + c = 0\\ \Leftrightarrow x = - \left( {a + b + c} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \left( {a + b + c} \right)\).