Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
-
A
-
B
-
C
-
D
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số
Ta biểu diễn \(x \ge 8\) trên trục số như sau:
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn? Hãy chọn câu đúng?
-
A
\(7 - \dfrac{1}{{2y}} < 0\)
-
B
\(y < 10 - 2y\)
-
C
\(\dfrac{3}{4}x - y < 1\)
-
D
\(4 + 0.y \ge 8\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Nên \(y < 10 - 2y\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(x - 2 > 4,\) phép biến đổi nào sau đây là đúng?
-
A
\(x > 4 - 2\)
-
B
\(x > - 4 + 2\)
-
C
\(x > - 4 - 2\)
-
D
\(x > 4 + 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có \(x - 2 > 4\), chuyển \( - 2\) từ vế trái sang vế phải ta được \(x > 4 + 2\).
Bất phương trình $x - 2 < 1$ tương đương với bất phương trình sau:
-
A
$x > 3$
-
B
$x \le 3$
-
C
$x - 1 > 2$
-
D
$x - 1 < 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng quy tắc chuyển vế hoặc cộng cả 2 vế của bất đẳng thức với một số thì chiều của đẳng thức không đổi.
Ta có $x - 2 < 1 \Leftrightarrow x - 2 + 1 < 1 + 1 \Leftrightarrow x - 1 < 2$
Chuyển vế \( - 2\) từ vế trái sang vế phải thì phải đổi dấu ta được \(bpt \Leftrightarrow x < 1 + 2 \Leftrightarrow x < 3 \Rightarrow \) loại đáp án A và B.
Bất phương trình bậc nhất $2x - 2 > 4$ có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ sau:
-
A
-
B
-
C
-
D
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
+) Biểu diễn trên trục số không có dấu bằng là ngoặc tròn.
Giải bất phương trình ta được: \(2x - 2 > 4 \Leftrightarrow 2x > 6 \Leftrightarrow x > 3.\)
Biểu diễn trên trục số:
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
-
A
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
B
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C
\(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
D
\(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
\(1 - 3x \ge 2 - x\)
\(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le - \dfrac{1}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
-
A
\(2x + 1 > 5\)
-
B
\(7 - 2x < 10 - x\)
-
C
\(2 + x < 2 + 2x\)
-
D
\( - 3x > 4x + 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Thay \(x = - 3\) vào mỗi bất phương trình.
Nếu ta thu được một bất đẳng thức đúng thì \(x = - 3\) là nghiệm và ngược lại.
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2x + 1 > 5\) ta được \(2.\left( { - 3} \right) + 1 > 5 \Leftrightarrow - 5 > 5\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + 1 > 5\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\) ta được \(7 - 2.\left( { - 3} \right) < 10 - \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow 13 < 13\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\) ta được \(2 + \left( { - 3} \right) < 2 + 2.\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow - 1 < - 4\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\) ta được \( - 3.\left( { - 3} \right) > 4.\left( { - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow 9 > - 9\) (luôn đúng) nên \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\).
Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?
-
A
\(2\left( {x - 1} \right) < x\).
-
B
\(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4\).
-
C
\(2x < x - 4\).
-
D
\(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Áp dụng quy tắc phá ngoặc, quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
+ Dựa vào tập nghiệm được biểu diễn trên trục số để kết luận.
* Giải từng bất phương trình ta được
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x\)\( \Leftrightarrow 2x - 2 < x \)\(\Leftrightarrow 2x - x < 2 \)\(\Leftrightarrow x < 2\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x \le - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x \le - 2\)
+) \(2x < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 \)\(\Leftrightarrow x < - 4\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x < - 2\)
* Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm \(S = \left\{ {x < - 2} \right\}\) .
Nên bất phương trình \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\) thỏa mãn.
Với giá trị của m thì phương trình $x - 2 = 3m + 4$ có nghiệm lớn hơn 3:
-
A
$m \ge 1$
-
B
$m \le 1$
-
C
$m > - 1$
-
D
$m < - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Áp dụng quy tắc chuyển vế tìm nghiệm $x$ theo $m$ sau đó cho nghiệm $x$ theo $m$ lớn hơn $3$ rồi tính $m$ .
Ta có: \(x - 2 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 6\)
Theo đề bài ta có \(x > 3 \Leftrightarrow 3m + 6 > 3 \Leftrightarrow 3m > - 3 \Leftrightarrow m > - 1\)
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}$ là
-
A
$7$
-
B
$6$
-
C
$8$
-
D
$5$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
+ Quy đồng mẫu số, bỏ mẫu.
+ Tìm khoảng của $x$
+ Suy ra $x$ nguyên nhỏ nhất cần tìm
$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ \Leftrightarrow 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)\\ \Leftrightarrow 6x + 24 - 30x + 150 < 10x + 30 - 15x + 30\\ \Leftrightarrow 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150\\ \Leftrightarrow - 19x < - 114\\ \Leftrightarrow x > 6\end{array}$
Vậy \(S = \left\{ {x > 6} \right\}\)
Nghiệm nguyên nhỏ nhất là \(x = 7\).
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có tập nghiệm là
-
A
$S = \left\{ {{x \in R /}x > - 1} \right\}$
-
B
$S = \left\{ {x \in R /}{x > 1} \right\}$
-
C
$S = \left\{ {x \in R /}{x \ge - 1} \right\}$
-
D
$S = \left\{ {x \in R /}{x < - 1} \right\}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Khai triển các hằng đẳng thức
- Bỏ dấu ngoặc
- Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4x < - 4\\ \Leftrightarrow x < - 1\end{array}$
Vậy \(x < - 1\) .
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$.
-
A
Bất phương trình vô nghiệm
-
B
Bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\)
-
C
Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {x > 0} \right\}\)
-
D
Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {x < 0} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Nhân đa thức với đa thức
- Áp dụng quy tắc chuyển vế để rút gọn và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
Ta có $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}\)
Vì \(5 > 0\) (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\) .
Tìm $x$ để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm.
-
A
$x > 3$
-
B
$x < 3$
-
C
$x \le 3$
-
D
$x > 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\) sau đó giải bất phương trình tìm $x$ .
Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\)
Vì $4>0$ nên
\( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 3x > 0 \)\(\Leftrightarrow 3x < 9 \Leftrightarrow x < 3\)
Vậy để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm thì \(x < 3.\)
Tìm \(x\) để biểu thức sau có giá trị dương $A = \dfrac{{x + 27}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4}$
-
A
$x \le 13$
-
B
$x > 13$
-
C
$x < 13$
-
D
$x \ge 13$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Cho \(A > 0\) rồi giải bất phương trình thu được theo các bước sau:
+ Quy đồng mẫu số
+ Bỏ mẫu và giải bất phương trình bậc nhất thu được.
Từ giả thiết suy ra \(A > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 27}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {x + 27} \right) - 5\left( {3x - 7} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4x + 108 - 15x + 35 > 0\\ \Leftrightarrow - 11x + 143 > 0\\ \Leftrightarrow - 11x > - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\end{array}\)
Vậy với \(x < 13\) thì \(A > 0\) .
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
-
A
$x < - 2$
-
B
$x < 2$ hoặc $x>3$
-
C
$x > 2$
-
D
$2 < x < 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) âm \( \Leftrightarrow A < 0\). Giải bất phương trình tìm $x$ .
+ Bất phương trình có dạng: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 > 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\)
Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\) thì \(B\) âm.
Tìm \(x\) để $P = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}$ có giá trị lớn hơn \(1\).
-
A
$x > 1$
-
B
$x < 1$
-
C
$x > - 1$
-
D
$x < - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Cho \(P > 1\) , chuyển vế rồi quy đồng và giải bất phương trình thu được.
$P > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - x - 1}}{{x + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} > 0$
Vì \( - 4 < 0\) nên $ \Rightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$ .
Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn cả hai bất phương trình:
\(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > - 5\) và \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)
-
A
$x = 11;x = 12$
-
B
$x = 10;x = 11$
-
C
$x = -11;x = -12$
-
D
$x = 11;x = 12;x = 13$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
* Giải hai bất phương trình theo các bước sau:
+ Quy đồng mẫu số
+ Bỏ mẫu và giải bất phương trình bậc nhất thu được.
* Kết hợp hai tập nghiệm rồi tìm \(x\) nguyên thỏa mãn.
* Ta có \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} > - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 > - 100\\ \Leftrightarrow - 11x > - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
* Ta có \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}\)
\( \Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13x > 130\\ \Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(10 < x < 13\)
Nên các số nguyên thỏa mãn là \(x = 11;\,x = 12\).
Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của biểu thức \({(x + 1)^2} - 4\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \({(x - 3)^2}\).
-
A
$x < \dfrac{3}{2}$
-
B
$x > \dfrac{3}{2}$
-
C
$x \le \dfrac{3}{2}$
-
D
$x \ge \dfrac{3}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Cho \({\left( {x + 1} \right)^2} - 4 \le {\left( {x - 3} \right)^2}\) rồi khai triển hằng đẳng thức và sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
Từ giả thiết suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} - 4 \le {\left( {x - 3} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 \le {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 4 - {x^2} + 6x - 9 \le 0\\ \Leftrightarrow 8x \le 12\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Vậy \(x \le \dfrac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.
Giải bất phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\) ta được:
-
A
\( - 2 \le x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
B
\(x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
C
$x \ge 3$
-
D
$x \le - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Khai triển hằng đẳng thức
- Lập bảng xét dấu và kết luận.
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)
Ta có \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3;\,x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\) hoặc \(x \ge 3\).
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4\) là
-
A
$x > 1972$
-
B
$x < 1972$
-
C
$x < 1973$
-
D
$x < 1297$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Cộng hai vế với \(\left( { - 4} \right)\), sau đó trừ mỗi phân thức cho \(1\)
+ Quy đồng hợp lý để xuất hiện nhân tử chung.
+ Đặt nhân tử chung và đánh giá hạng tử để giải bất phương trình
Ta có
\(\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{1987 - x}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{1988 - x}}{{16}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{27 + x}}{{1999}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1972 - x}}{{15}} + \dfrac{{1972 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 1972}}{{1999}} + \dfrac{{x - 1972}}{{2000}} > 0\)\(\Leftrightarrow \left( {1972 - x} \right)\left( {\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}}} \right) > 0\)
Mà \(\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}} > 0\) nên \(1972 - x > 0 \)\(\Leftrightarrow x < 1972\)
Vậy \(x < 1972\) .