Chứng minh các đẳng thức sau:
LG a
\(\displaystyle {{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)
Phương pháp giải:
Ta biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho thông qua các phép biến đổi thì vế trái bằng vế phải.
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái:
\(\displaystyle VT={{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} \)
\(\displaystyle = {{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)} \over {2{x^2} + 2xy - xy - {y^2}}}\)
\(\displaystyle = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {2x\left( {x + y} \right) - y\left( {x + y} \right)}}\)
\( \displaystyle = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} \)
\(\displaystyle = {{y\left( {x + y} \right)} \over {2x - y}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}=VP\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
LG b
\(\displaystyle {{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {1 \over {x - y}}\)
Phương pháp giải:
Ta biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho thông qua các phép biến đổi thì vế trái bằng vế phải.
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái:
\(\displaystyle VT= {{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} \)
\(\displaystyle = {{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}} \over {{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} \)
\(\displaystyle = {{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\)
\( \displaystyle = {{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\(\displaystyle = {1 \over {x - y}}=VP\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
(Với VT: vế trái, VP: vế phải)
soanvan.me