Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình chữ nhật, hình chiếu của \(A'\) lên đáy \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của cạnh \(AD\). Biết rằng \(AB = a,AD = 2a\) và thể tích hình hộp đã cho bằng \(2{a^3}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {A'DCB'} \right)\) bằng:
A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{6}a\) B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}a\)
C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\) D. \(a\sqrt 2 \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\), \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A'D\).
- Nhận xét: \(d\left( {B,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'CD} \right)} \right)\)\( = 2d\left( {H,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\) và tính toán.
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(AD\), \(H\) là trung điểm của \(AD\), \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A'D\).
Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2{a^2}\) \( \Rightarrow A'H = \dfrac{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{2{a^3}}}{{2{a^2}}} = a\).
Dễ thấy \(AB//\left( {A'B'CD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'CD} \right)} \right)\) \( = 2d\left( {H,\left( {A'B'CD} \right)} \right)\).
Lại có \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right) \Rightarrow CD \bot HE\). Mà \(HE \bot A'D\) nên \(HE \bot \left( {A'DCB'} \right)\).
Do đó \(d\left( {H,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = HE\).
Mà \(HD = \dfrac{1}{2}AD = a,HA' = a\) nên \(\dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{H{D^2}}} + \dfrac{1}{{A'{H^2}}}\)
\( \Rightarrow HE = \dfrac{{HA'.HD}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{D^2}} }}\)\( = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) .
Vậy \(d\left( {B,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = 2HE = a\sqrt 2 \).
Chọn D.
soanvan.me