Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
LG 1
Viết phương trình đựờng thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1;2).\) thẳng d2 đi qua điểm M1(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = (2;1; - 1).\)
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 8;4;14) \)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 70 \ne 0\)
\( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau.
LG 2
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó \(mp(\alpha )\) qua điểm \({M_2}( - 8;6;10)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3)\)
\( \Rightarrow \left( \alpha \right):x - 5y - 3z + 68 = 0.\)
LG 3
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.
Lời giải chi tiết:
\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d({M_1},\left( \alpha \right) \)
\(= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\)
LG 4
Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.
Lời giải chi tiết:
Viết lại phương trình đường thẳng \({d_1},{d_2}\) dưới dạng tham số. Từ đó :
\(M \in {d_1}\) nên M=(t;2-t;-4+2t)
\(N \in {d_2}\) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).\)
Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi \(MN\parallel Ox\) hay hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow i (1;0;0)\) cùng phương, nghĩa là
\(\left\{ \matrix{ t' + t = - 4 \hfill \cr t' + 2t = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 18 \hfill \cr t' = - 22. \hfill \cr} \right.\)
Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :
\(d:\left\{ \matrix{ x = 18 + t \hfill \cr y = - 16 \hfill \cr z = 32. \hfill \cr} \right.\)
LG 5
Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB \(\left( {K \ne B} \right)\) sao cho
\(d\left( {K,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( P \right)} \right).\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & A \in {d_1} \Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t), \cr & B \in {d_2} \Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'), \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t). \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow 6t + t' = 16, \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \)
Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 6t + t' = 16 \hfill \cr t + 6t' = 26 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t' = 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). \)
Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng \(\sqrt {35} \). Phương trình của nó là :
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35.\)
LG 6
Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.