LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0\) nên TCX: \(y = x - 3\).
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\), \({y_{CD}} = - 5\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = - 1\).
+) Đồ thị:
LG b
Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình \({{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0\) (1)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Dễ thấy \({0^2} - \left( {m + 3} \right).0 + 1 = 1 \ne 0\) nên 0 không là nghiệm của phương trình.
(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
∆ = \({\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)
\( \Leftrightarrow m < - 5\) hoặc \(m > - 1\)
LG c
Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Với \( m < - 5\) hoặc \(m > - 1\) thì đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
\({x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\) và \({y_M} = m.\) (2)
Từ đó suy ra \({x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\) hay \({y_M} = 2{x_M} - 3.\)
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \(y = 2x - 3.\)
Từ (2) suy ra \(m = 2{x_M} - 3.\)
Do \( m < - 5\) hoặc \(m > - 1\) nên ta có
\(\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} < - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )\) là phần của đường thẳng \(y = 2x - 3\) ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup ( 1; + \infty )\)
Đó là hai nửa đường thẳng.
soanvan.me