Đề bài
Hai dây cung \(AB\) và \(CD\) kéo dài cắt nhau tại điểm \(E\) ở ngoài đường tròn \((O)\) \((B\) nằm giữa \(A\) và \(E,\) \(C\) nằm giữa \(D\) và \(E).\) Cho biết \(\widehat {CBE} =75^o,\) \(\widehat {CEB} = {22^o},\) \(\widehat {AOD} = {144^o}.\) Chứng minh \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC}.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Lời giải chi tiết
Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat E \) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\(\widehat E = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AD} - sđ \overparen{BC}\))
Lại có: \(sđ \overparen{AD}= \widehat {AOD} = 144^\circ\)
\( \Rightarrow 22^\circ =\displaystyle {{144^\circ - sđ \overparen{BC}} \over 2}\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{BC}= 144^\circ - 2.22^\circ = 100^\circ\)
Ta có: \(\widehat {BAC} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BC}\) (tính chất góc nội tiếp)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {BAC} = \displaystyle {1 \over 2}.100^\circ = 50^\circ \)
Trong \(∆ABC\) ta có \(\widehat {CBE}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B.\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBE} = \widehat {BAC} + \widehat {ACB}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {ACB} = \widehat {CBE} - \widehat {BAC}\)\( = 75^\circ - 50^\circ = 25^\circ \)
\(\widehat {ACB} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (hệ quả góc nội tiếp)
\(\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB} = 50^\circ \)
Vậy \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC} = 50^\circ \)
soanvan.me