Video hướng dẫn giải
LG a
So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\)
Phương pháp giải:
Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh
Lời giải chi tiết:
Ta có:
+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \).
Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).
Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \)
LG b
Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
Phương pháp giải:
+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).
+) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\).
+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \)
Lời giải chi tiết:
Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)
Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có:
\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \)
Suy ra:
\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \)
Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)
Cách khác 1:
Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\)
Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\)
\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)
Cách khác 2:
Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)
Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và
\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \)
Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1)
Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3)
Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra
\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \)
Hay \(\left| {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\)
Hay \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \)
Từ kết quả \(\sqrt a < \sqrt {a - b} + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
soanvan.me