Đề bài
Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta biến đổi vế trái bằng vế phải: Sử dụng điều kiện bài cho và sử dụng hằng đẳng thức: \( (A+B)^3=A^3+3A^2.B+3A.B^2+B^3\)
Lời giải chi tiết
Ta có \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)\(=a^3+b^3+3ab(a+b)\)
Suy ra \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Do đó:
\({a^3} + {b^3} + {c^3} \)\(= {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3}\;\;\;(1)\)
Ta có: \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c\;\;\;\; (2) \)
Thay (2) vào (1) ta có:
\({a^3} + {b^3} + {c^3}\)\( = {\left( { - c} \right)^3} - 3ab\left( { - c} \right) + {c^3} \)\(= - {c^3} + 3abc + {c^3} = 3abc\)
Vế trái bằng vế phải vậy đẳng thức được chứng minh.
soanvan.me