Đề bài

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \({x^2} - 3x < 4\)     

b) \(0 < 2{x^2} - 11x - 6\)

c) \( - 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0\)   

d) \( - 3\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) \le {x^2} - 8x + 28\)

e) \(2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27\)   

g) \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { - x + 2} \right) < 0\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({x^2} - 3x < 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \({x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1\) và \({x_2} = 4\), nên \({x^2} - 3x - 4 < 0\) khi và chỉ khi \( - 1 < x < 4\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - 1;4} \right)\)

b) Ta có \(0 < 2{x^2} - 11x - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x - 6 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} - 11x - 6\) có \(a = 2 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - \frac{1}{2}\) và \({x_2} = 6\), nên \(2{x^2} - 11x - 6 > 0\) khi và chỉ khi \(x <  - \frac{1}{2}\) hoặc \(x > 6\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

c) Ta có \( - 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0 \Leftrightarrow  - 8{x^2} - 20x + 12 \le 0\)

Xét tam thức bậc hai \( - 8{x^2} - 20x + 12\) có \(a =  - 8 < 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - 3\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\), nên \( - 8{x^2} - 20x + 12 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \le  - 3\) hoặc \(x \ge \frac{1}{2}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

d) Ta có \( - 3\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) \le {x^2} - 8x + 28 \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\)

Xét tam thức bậc hai \(4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\) có \(a = 4 > 0\) và  nghiệm duy nhất là \(x = \frac{5}{2}\) nên \(4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\)  với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

e) Ta có \(2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 \le 0\)

Xét tam thức bậc hai \({x^2} + 10x + 25 \le 0\) có \(a = 1 > 0\) và  nghiệm duy nhất là \(x =  - 5\) nên \({x^2} + 10x + 25 \le 0\)  khi và chỉ  khi \(x =  - 5\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left\{ { - 5} \right\}\)

g) Ta có \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { - x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 20 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} - 5x + 20\) có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta  =  - 135 < 0\) nên \(2{x^2} - 5x + 20\)  luôn lớn hơn không với mọi x

Vậy bất phương trình vô nghiệm