Bài 4.1
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{ \displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr
\displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr
\displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\(a)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr
\displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\).
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \) \((a \ne 0;b \ne 0)\)
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr
{5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{6a + 10.\displaystyle\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (3; -2)\).
\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr
\displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\)
\((a \ne 0;b \ne 0)\)
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr
{6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr
{ 3.(-1) + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr
{b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr
\displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (2; -2).\)
Bài 4.2
Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
\(a)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M(-3; 1)\) và \(N(1; 2)\)
\(b)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 - 1} \right)\)
\(c)\) Đồ thị đi qua điểm \(M(-2; 9)\) và cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b,\) trong đó \(a, b\) là những số cho trước và \(a \ne 0.\)
- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lời giải chi tiết:
Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\) \( (a \ne 0).\)
\(a)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-3; 1)\) nên ta có \(1 = -3a + b\)
Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(1; 2)\) nên ta có \(2 = a + b\)
Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 3a + b = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
{\displaystyle{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a =\displaystyle {1 \over 4}} \cr
{b =\displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(a=\displaystyle {1 \over 4}\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = \displaystyle{1 \over 4}x + {7 \over 4}.\)
\(b)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) nên ta có \(1 = a\sqrt 2 + b\)
Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N\left( {3;3\sqrt 2 - 1} \right)\) nên ta có \(3\sqrt 2 - 1 = 3a + b\)
Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
{3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 - 2} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(a=\sqrt 2\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = \sqrt 2 x - 1\)
\(c)\) Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm \(N\) có hoành độ bằng \(2\) nên \(N(2;y)\).
Điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) nên ta có \(3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow - 5y = - 5 \Leftrightarrow y = 1\)
Suy ra \(N( 2; 1.)\)
Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-2; 9)\) nên ta có \(9 = -2a + b\)
Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(2; 1)\) nên ta có \(1 =2a + b\)
Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 2a + b = 9} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a = - 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(a=- 2\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = - 2x + 5.\)
Bài 4.3
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ne - y;y \ne - z;z \ne - x\)
Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \(x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)
Do đó
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr
\displaystyle{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr
\displaystyle{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr
\displaystyle{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\) \((a,b,c \ne 0)\)
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\(\left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{3 \over 2}} \cr
{b + c = \displaystyle{5 \over 6}} \cr
{c + a =\displaystyle {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:
\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr
& \Rightarrow a = \left( {a + b + c} \right) - \left( {b + c} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr
& b = \left( {a + b + c} \right) - \left( {c + a} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr
& c = \left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)
Ta thấy \(a=1;b=\displaystyle {1 \over 2};c={1 \over 3}\) thoả mãn điều kiện \(a,b,c \ne 0\).
Do đó
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 1} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr
\displaystyle{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr
{z = 3} \cr} } \right. \text{(thoả mãn)}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y; z) = (1; 2; 3).\)
soanvan.me