Đề bài
Với \(a\) dương, chứng minh:
\(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a, b:\)
\(\dfrac{{a + b}}{2} \ge 2\sqrt {ab} .\)
Lời giải chi tiết
Cách 1: Với \(a\) dương, ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - {1 \over {\sqrt a }}} \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow a - 2 + \dfrac{1}{a} \ge 0 \Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2\)
Cách 2:
Ta có: \(a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương \(a\) và \(\dfrac{1}{a}\):
\(\begin{array}{l}
a + \dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{1}{a}} \\
\Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = \dfrac{1}{a}\).
soanvan.me