Đề bài
Cho tam giác ABC với \(BC = a;AC = b;AB = c\). Chứng minh rằng:
\(1 + \cos A = \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)}}{{2bc}}\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Rightarrow \cos A + 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{2bc}}\) (1)
\(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{2bc}} = \frac{{\left( {{b^2} + {c^2} + 2bc} \right) - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{2bc}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(1 + \cos A = \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)}}{{2bc}}\) (đpcm)