Đề bài
Chứng minh rằng \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: Một số chia hết cho \(2\) và \(3\) thì số đó chia hết cho \(6.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)
Với \(n ∈\mathbb Z\) thì \(\left( {n - 1} \right), n, \left( {n + 1} \right)\) là ba số nguyên liên tiếp.
+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\)
+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(3\)
Do đó tích \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\).
Mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho \(6\) hay \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)
soanvan.me