Đề bài
Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.,d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 2t'\\z = - 1 + t'\end{array} \right.\) và M(2; -1; 0)
a) Chứng minh rằng d và d' chéo nhau.
b) Tìm tọa độ điểm A trên d và điểm B trên d' để M, A, B thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh được d không song song với d' vì chúng có các vectơ chỉ phương không cùng phương.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3 + t = 1 + t'\\1 - t = 2t'\\2t = - 1 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t = - 1\\2t = - 1 + t'\end{array} \right.\)
⇒ hệ phương trình vô nghiệm
Do đó d và d' chéo nhau.
b) Lấy A(3 + t; 1 - t; 2t) thuộc d và B(1 + t'; 2t'; -1 + t') thuộc d'.
Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 + t;1 - t;2t} \right),\) \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 1 + t';1 + 2t'; - 1 + t'} \right)\)
M, A, B thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = k\overrightarrow {MA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + t' = k\left( {1 + t} \right)\\1 + 2t' = k\left( {2 - t} \right)\\ - 1 + t' = k.2t\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = - 1\\k = - 1\end{array} \right.\)
Từ đó suy ra A(4; 0; 2), B(0; -2; -2).
soanvan.me