Đề bài

Tìm parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\), biết rằng parabol đó

a) Đi qua hai điểm \(M(1;5)\) và \(N( - 2;8)\)

b) Đi qua điểm \(A(3; - 4)\) và có trục đối xứng \(x =  - \frac{3}{2}\)

c) Có đỉnh \(I(2; - 2)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Nếu biết tọa độ điểm thuộc đồ thị (kể cả đỉnh) thay tọa độ các điểm vào hàm số

Bước 2: Nếu biết PT trục đối xứng x = c hay hoành độ đỉnh parabol ta được \( - \frac{b}{{2a}} = c\).

Bước 3: Giải các PT để tìm hai giá trị a, b tương ứng

Lời giải chi tiết

a) Thay tọa độ điểm \(M(1;5)\) và \(N( - 2;8)\) vào hàm số ta có hệ PT:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = a + b + 2\\8 = 4a - 2b + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 2b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy hàm số có dạng \(y = 2{x^2} + x + 2\)

b) Thay tọa độ điểm \(A(3; - 4)\) ta có PT: \(9a + 3b + 2 =  - 4 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2\)

Parabol có trục đối xứng \(x =  - \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow \) \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3a - b = 0\)

Khi đó ta có hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}3a + b =  - 2\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{3}\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hàm số có dạng \(y =  - \frac{1}{3}{x^2} - x + 2\)

c) Parabol có đỉnh \(I(2; - 2)\) \( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow 4a + b = 0\)

Thay tọa độ đỉnh \(I(2; - 2)\) vào hàm số ta có PT: \(4a + 2b + 2 =  - 2 \Leftrightarrow 2a + b =  - 2\)

Khi đó ta có hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\2a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy hàm số có dạng: \(y = {x^2} - 4x + 2\)