Đề bài

Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) và \(AC = 2AB.\)

a) Vẽ trung tuyến \(BE\) của tam giác \(ABO.\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), chứng minh rằng \(EM\) vuông góc với đường chéo \(BD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

- Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của cạnh đáy.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\displaystyle AO = CO = {1 \over 2}AC\)

\(BE\) là trung tuyến của tam giác \(ABO\) nên \(\displaystyle AE = {1 \over 2}AO\)

Mặt khác, \( AC = 2AB \) (gt) nên \(AB = AO\) do đó \(\displaystyle AE = {1 \over 2}AB\)

Xét \(\Delta  AEB\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AC}} = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow  ∆ AEB\) đồng dạng \(∆ ABC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  \widehat {ABE} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).

b) Theo chứng minh ở câu a) \(∆ AEB\) đồng dạng \(∆ ABC\) theo tỉ số \(\displaystyle k = {1 \over 2}\) nên ta có \(\displaystyle BE = {1 \over 2}BC\) hay \(\displaystyle  BE = BM={1 \over 2}BC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))

\( \Rightarrow  ∆ BEM\) cân tại \(B.\)

Xét \(∆EBC \) có \(\displaystyle {{BE} \over {BC}} = {{OE} \over {OC}} = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow  BO \) là đường phân giác góc \(EBC\).

Xét tam giác \(BEM\) cân tại \(B\) có \(BO\) là đường phân giác nên \(BO\) đồng thời là đường cao ứng với cạnh đáy \(EM\).

Vậy \(EM\bot \,BD\). 

soanvan.me