Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
LG a
\({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)
- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.
- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\displaystyle {x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 2t - 3 = 0\)
Phương trình có:
\(\displaystyle a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Với \(t=-1\) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm kép: \(\displaystyle x_1= x_2= 1\)
Với \(t=3\) ta có:
\(\displaystyle {x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)
Phương trình này có: \(\displaystyle a - b + c =\displaystyle 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Vậy phương trình đã cho có \(\displaystyle 3\) nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = 3\)
LG b
\(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\)
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)
- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.
- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\displaystyle {x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\) với mọi \(x\)
Nên \(\displaystyle 3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\)
Đặt \(\displaystyle \sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\)
Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 3t + 2 = 0\)
Phương trình này có dạng: \(\displaystyle a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)
Nên có hai nghiệm: \(\displaystyle {t_1} = 1;{t_2} = 2\) (thỏa mãn điều kiện)
Với \(t=1\) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
Với \(t=2\) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có \(\displaystyle 4\) nghiệm: \( {x_1} = 0;{x_2} = -1;\) \(\displaystyle {x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)
soanvan.me