Đề bài
Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 thì luôn chia hết cho 4
Gợi ý: Mỗi số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng 2n – 1 với \(n \in \mathbb{N}*\), hoặc dưới dạng 2n + 1 với \(n \in \mathbb{N}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị: a = 2n – 1; b = a + 2 = 2n + 1
- Tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1: Rút gọn và chứng minh tích đó có thừa số chia hết cho 4.
Lời giải chi tiết
Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu số thứ nhất là a = 2n – 1
Thì số thứ hai là b = a + 2 = 2n – 1 + 2 = 2n + 1.
Khi đó: tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 là:
\(ab + 1 = \left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right) + 1 = \left( {4{n^2} + 2n - 2n - 1} \right) + 1 = 4{n^2} \vdots 4\)
Chú ý:
Nếu viết 2 số lẻ liên tiếp là a = 2n + 1 và b = a + 2 = 2n + 3 thì
\(ab + 1 = \left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right) + 1 = 4\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) \vdots 4\)