Đề bài
Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52).
Chứng minh:
a) Tam giác EIF là tam giác vuông;
b) IA = IB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh góc EIF bằng \({90^o}\) (sử dụng tính chất tia phân giác của một góc) từ đó suy ra tam giác EIF vuuong tại I.
- Chứng minh IA = IC và IC = IB nên IA = IB.
Lời giải chi tiết
a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên \(\widehat {AEI} = \widehat {IEF} = \frac{1}{2}\widehat {AEF}\)
Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFE} = \frac{1}{2}\widehat {BFE}\).
Vì a // b nên \(\widehat {aEF} + \widehat {bFE} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Suy ra \(\widehat {IEF} + \widehat {IFE} = \frac{{\widehat {aEF} + \widehat {bFE}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Xét ∆IEF có \(\widehat {EIF} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{IEF}}} + \widehat {IFE}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)(tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra
Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.
b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.
Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1)
Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) ta có IA = IB.
Vậy IA = IB.