Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét các tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \)MA = MC = \(\dfrac{1}{2}\)AC; NA = NB = \(\dfrac{1}{2}\)AB
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC ( tính chất)
Do đó, AM = MC = NA = NB
Xét \(\Delta \)ANC và \(\Delta \)AMB, ta có:
AN = AM
\(\widehat A\) chung
AC = AB
\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ANC = \(\Delta \)AMB (c.g.c)
\( \Rightarrow \) NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.
Vì \(∆ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G\)
\(\Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
\(\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Mà \(BM = CN\) (giả thiết) nên \(GB = GC.\)
Tam giác \(GBC\) có \(GB = GC\) nên \(∆GBC\) cân tại \(G\).
\(\Rightarrow \) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (Tính chất tam giác cân).
Xét \(∆BCN\) và \(∆CBM\) có:
+) \(BC\) là cạnh chung
+) \(CN = BM\) (giả thiết)
+) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(∆BCN = ∆CBM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \) \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (hai góc tương ứng).
\(\Rightarrow ∆ABC\) cân tại \(A\) (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)