Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và tia phân giác của góc \(A\) cắt đường tròn tại \(M\). Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng:
a) \(OM\) đi qua trung điểm của dây \(BC\).
b) \(AM\) là tia phân giác của góc \(OAH\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Sử dụng hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau
+ Chỉ ra M là điểm chính giữa cung BC.
b) + Chứng minh \(OM//AH\)
+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\)
\( \Rightarrow\) \(\overparen{BM}\)=\(\overparen{MC}\) ( 2 góc nội tiếp bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
\( \Rightarrow\) \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\)
Vậy \(OM \bot BC\) và \(OM\) đi qua trung điểm của \(BC\) (định lí)
b) Ta có : \(OM \bot BC\) và \(AH\bot BC\) nên \(AH//OM\)
\( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (2 góc so le trong) (1)
Vì \(OA=OM\) (= bán kính đường tròn (O)) nên \(∆OAM\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow\) \(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow\) \(\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\)
Vậy \(AM\) là đường phân giác của góc \(\widehat {OAH}\)