Câu 11 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \((u_n)\) với : \(u_n = \sqrt 2 + (\sqrt2)^2+......+( \sqrt 2)^n\)

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(\lim {u_n} = \sqrt 2  + {(\sqrt 2 )^2} + ... + {(\sqrt 2 )^n}+... \) \(= {{\sqrt 2 } \over {1 - \sqrt 2 }}\)

B. \(\lim u_n = -∞\)

C. \(\lim u_n= +∞\)

D. Dãy số \((u_n)\) không có giới hạn khi \(n \rightarrow +∞\)

Lời giải chi tiết

+ Ta có \((u_n)\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1= \sqrt 2\) và công bội \(q = \sqrt 2\) nên:

\(\eqalign{
& {u_n} = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - {{(\sqrt 2 )}^n}} \right]} \over {1 - \sqrt 2 }}\cr&= {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right]} \over {\sqrt 2 - 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}}.\left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right] \cr} \)

Vì \(\sqrt 2 > 1\) nên \(\lim{[(\sqrt 2)^n -1]}= + ∞ ; \, {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}} > 1\);

  \(\Rightarrow \lim {u_n} = +∞\)

Chọn đáp án C.

Chú ý:

Đây không phải cấp số nhân lùi vô hạn nên không áp dụng công thức A được.