Đề bài

Cho đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến tại điểm M thuộc (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính CD. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn (I) tại O.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: Tính chất đường trung bình của hình thang

Chứng minh OI vuông góc với AB và bằng nửa CD

Lời giải chi tiết

AC và BD là tiếp tuyến của (O) nên \(AC ⊥ AB\) và \(BD ⊥ AB ⇒ AC // BD\)

Do đó tứ giác ACDB là hình thang vuông, có O là trung điểm AB, I là trung điểm CD nên OI là đường trung bình của hình thang vuông. Vì vậy OI // AC.

\(⇒ OI ⊥ AB\) (1) và \(OI = {{AC + BD} \over 2}\)

Dễ dàng chứng minh \(∆OAC = ∆OMC ⇒ AC = MC\)

Tương tự : \(BD = MD \)\(\;\Rightarrow OI = {{MC + MD} \over 2} = {{CD} \over 2}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) chứng tỏ AB là tiếp tuyến của (I)

soanvan.me