Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi
-
A
\(B \ne 0\)
-
B
\(B \ge 0\)
-
C
\(B \le 0\)
-
D
\(A = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A
\(A.B = C.D\)
-
B
\(A.C = B.D\)
-
C
\(A.D = B.C\)
-
D
\(AC < B.D\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .
Chọn câu sai. Với đa thức \(B \ne 0\) ta có
-
A
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức \(0\) )
-
B
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (với $N$ là một nhân tử chung , \(N\) khác đa thức \(0\) ).
-
C
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ .
-
D
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A + M}}{{B + M}}$ (với \(M\) khác đa thức \(0\) ).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Tính chất cơ bản của phân thức đại số
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ ) nên A đúng.
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ ) nên B đúng.
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ nên C đúng.
Đáp án D sai vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\) .
Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa
-
A
\(x \le 2\)
-
B
\(x \ne 1\)
-
C
\(x = 2\)
-
D
\(x \ne 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng: Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Ta có \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi
-
A
\(x \ne 2\)
-
B
\(x \ne 2\) và \(\,x \ne - 2\)
-
C
\(x = 2\)
-
D
\(\,x \ne - 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm 2\) .
Để phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(x\) thỏa mãn điều kiện nào?
-
A
$\;x \ne - 1$ và \(\,x \ne - 3\)
-
B
\(x = 3\).
-
C
\(x \ne - 1\) và \(\,x \ne 3\).
-
D
\(x \ne - 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa khi \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow \) \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\)
Nên $x \ne - 1$ và \(x \ne 3\) .
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}\)có giá trị bằng $1$ khi $x$ bằng:
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\( - 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 1\) . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
+ Điều kiện: \(2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) .
+ Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}} = 1 \Rightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(x = 1\) .
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$có giá trị bằng $0$?
-
A
\(0\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B} \) xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 0\) suy ra $A=0.$ Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
+ Vì \(11 \ne 0\) (luôn đúng) nên phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$ luôn có nghĩa.
+ Ta có $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.$
Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu đề bài: \(x = 3;\,x = - 3\) .
Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5}\)?
-
A
\(\dfrac{{14{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
B
$\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{5xy}}$\(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
C
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35}}\).
-
D
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức:
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
Với \(\left( {x,y \ne 0} \right)\) ta có \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5} = \dfrac{{2{x^3}{y^2}.7xy}}{{5.7xy}} = \dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\)
Phân thức \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}}\)( với \(a \ne 0\)) bằng với phân thức nào sau đây?
-
A
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{\rm{a}}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\left( {x \ne - y} \right)\)
-
B
\(\dfrac{{ - x - y}}{{3a}}\)
-
C
\(\dfrac{{ - x + y}}{{3a}}\).
-
D
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{{\rm{a}}^2}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\,\,\left( {x \ne - y} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$
Ta có \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{ - 3a}} = \dfrac{{ - x - y}}{{ - 3a}}\) nên B,C sai.
Lại có \(\dfrac{{x + y}}{{3a}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right).3a.\left( {x + y} \right)}}{{3a.3a.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{3a{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{a^2}\left( {x + y} \right)}}\) nên A sai, D đúng.
Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\).
-
A
\( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}}\)
-
B
\(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)
-
C
\(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)
-
D
\(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$
Ta có \( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}} = - \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{3 + x}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}:\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \dfrac{{x + 3}}{{3 - x}} \ne \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}:\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}} = \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{ - \left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
Chọn câu sai.
-
A
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\).
-
B
\(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = x - 3\)
-
C
\(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\).
-
D
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
Ta có \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right):5}}{{5x:5}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\) nên A đúng, D sai.
*) \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = x - 3\) nên B đúng.
*) \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\) nên C đúng.
Viết phân thức \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}}\) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.
-
A
\(\dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
B
\(\dfrac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
C
\(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
-
D
\(\dfrac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Nhân cả tử và mẫu với cùng một số để có phân thức thỏa mãn đề bài.
Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với số \(3\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{\left( {\dfrac{1}{3}x - 2} \right).3}}{{\left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}} \right).3}} = \dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\) . \(\left( {x \ne \pm \dfrac{3}{2}} \right)\)
-
A
\(M = 6{x^2} + 9x\)
-
B
\(M = - 3x\)
-
C
\(M = 3x\)
-
D
\(M = 2x + 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng điều kiện để hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ .
Với \(x \ne \pm \dfrac{3}{2}\) ta có
\(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\)\( \Rightarrow M\left( {4{x^2} - 9} \right) = \left( {6{x^2} + 9x} \right).\left( {2x - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow M\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) \Rightarrow M = 3x\)
Cho \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\) \(\left( {x \ne - 3;x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) . Khi đó đa thức \(A\) là
-
A
\(A = {x^2} + 2x - 3\)
-
B
\(A = {x^2} + 2x + 3\)
-
C
\(A = {x^2} - 2x - 3\)
-
D
\(A = {x^2} + 2x\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng điều kiện để hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ .
Ta có với \(x \ne - 3\) và \(x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}\) thì \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\)\( \Rightarrow A.\left( {4x + 7} \right) = \left( {4{x^2} + 3x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow A = \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4x + 7x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left[ {4x\left( {x - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right)} \right]\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}} = \dfrac{{\left( {4x + 7} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}}\)
\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} + 2x - 3\)
Vậy \(A = {x^2} + 2x - 3\) .
Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x+ 6}}\) và \(\dfrac{1}{{x - 3}}\) bằng nhau.
-
A
\(x = 3\)
-
B
\(x \ne 3\)
-
C
\(x \ne 2\)
-
D
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\) .
Ta có \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}} + 6}} = \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 3}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\) (luôn đúng)
Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\).
Giá trị của $x$ để phân thức \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\) là
-
A
\(x > \dfrac{5}{2}\)
-
B
\(x < \dfrac{5}{2}\)
-
C
\(x < - \dfrac{5}{2}\)
-
D
\(x > 5\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng kiến thức \(\dfrac{A}{B} < 0 \Leftrightarrow B \ne 0\) và \(A,B\) trái dấu.
Ta có \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\)\( \Rightarrow 2x - 5 < 0 \)\(\Leftrightarrow 2x < 5 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\) (Vì \(3 > 0\) ).
Cho \(A = \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}\) . Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = 0\) .
-
A
\(2\)
-
B
\(3\)
-
C
\(1\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Ta có \({x^4} - 10{x^2} + 9 = {x^4} - {x^2} - 9{x^2} + 9 = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 9\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\)
Điều kiện: \({x^4} - 10{x^2} + 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne 1\\{x^2} \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne \pm 3\end{array} \right.\)
Ta có \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}} = 0 \Rightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 4{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x = - 2\,\left( {TM} \right)\\x = 1\,\,\left( L \right)\\x = - 1\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài \(x = 2;\,x = - 2\) .
Với $x \ne y$, hãy viết phân thức $\dfrac{1}{{x - y}}$ dưới dạng phân thức có tử là ${x^2} - {y^2}$.
-
A
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}$.
-
B
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$.
-
C
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$.
-
D
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0)$
Ta có $\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{{1.\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức \(C\) biết \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\).
-
A
\(C = x + 2\)
-
B
\(C = {x^2} + 2\)
-
C
\(C = x(x + 2)\)
-
D
\(C = x(x - 2)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng tính chất: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))
\(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)
Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{x(x + 3) - 2(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{(x - 2)(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)
Vậy \(C = x(x + 2)\).
Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).
-
A
\(\dfrac{1}{9}\)
-
B
\(\dfrac{1}{3}\)
-
C
\(3\)
-
D
\(9\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biến đổi giả thiết để có \(a = b\)
Thay vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.
Ta có:
\(4{a^2} + {b^2} = 5ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 4a(a - b) - b(a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(4a - b) = 0\)
\(Do\,\,\,2a > b > 0 \Rightarrow 4a > b \Rightarrow 4a - b > 0.\)
\( \Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.\)
Vậy \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\).
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(P = \dfrac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\).
-
A
\(4\)
-
B
\(8\)
-
C
\(16\)
-
D
\(2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng \(P = \dfrac{m}{{f\left( x \right)}}\) (với \(m > 0\)) đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
+ Sử dụng \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b;\forall x\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = - a\).
Ta có: \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)
Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
Suy ra: \(\dfrac{{16}}{{{x^2} + 2x + 5}} \le \dfrac{{16}}{4} \Leftrightarrow P \le 4\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy với \(x = 1\) thì \(P\) đạt giá trị lớn nhất là \(4.\)
Cho \(ad = bc\,\,\left( {cd \ne 0;{c^2} \ne 3{d^2}} \right)\). Khi đó \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}}\) bằng:
-
A
\(\dfrac{{a{b^2}}}{{c{d^2}}}\)
-
B
\(\dfrac{{ad}}{{bc}}\)
-
C
\(\dfrac{{ab}}{{cd}}\)
-
D
\(\dfrac{{cd}}{{ab}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng hai phân số bằng nhau \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A.D = B.C\)
Ta xét: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = {a^2}cd - 3{b^2}cd = ac.ad - 3bd.bc\) \( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (1) (do \(ad = bc\))
Và \(\left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab = {c^2}ab - 3{d^2}ab = ac.bc - 3bd.ad\)\( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (2) (do \(ad = bc\))
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = \left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab\)
Từ đó ta có: \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}} = \dfrac{{ab}}{{cd}}\)
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.
-
A
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
B
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
C
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
D
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi.
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác \(0\))
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))
Do \(a > b > 0\) nên \(a + b > 0;a - b > 0\)
Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}:\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right):\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}\)
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}}\) với \(\left( {a - b} \right)\) ta được:
\(\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) \( < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))