Tích \({\left( { - 5x} \right)^2}{y^2}.\dfrac{1}{5}xy\) bằng
-
A
$5{x^3}{y^3}$
-
B
$ - 5{x^3}{y^3}$
-
C
$ - {x^3}{y^3}$
-
D
${x^3}{y^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các công thức lũy thừa của một tích \({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\) và tích các lũy thừa \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\,\,\left( {m,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Ta có \({\left( { - 5x} \right)^2}{y^2}.\dfrac{1}{5}xy = {\left( { - 5} \right)^2}.{x^2}.y^2.\dfrac{1}{5}xy \)
\(= 25.\dfrac{1}{5}.\left( {{x^2}.x} \right)\left( {{y^2}.y} \right) = 5{x^3}{y^3}\)
Tích \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\) có kết quả bằng
-
A
${x^2} - 2xy + {y^2}$
-
B
${x^2} + {y^2}$
-
C
${x^2} - {y^2}$
-
D
${x^2} + 2xy + {y^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
Ta có \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)\(=x.x + x.y - x.y - y.y = {x^2} - {y^2}\)
Giá trị của biểu thức \(P = - 2{x^2}y\left( {xy + {y^2}} \right)\) tại \(x = - 1;\,y = 2\) là
-
A
$8$
-
B
$ - 8$
-
C
$6$
-
D
$ - 6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Nhân đơn thức với đa thức
Thay \({x_0};{y_0}\) biểu thức trên rồi thực hiện phép tính.
Ta có:
\(P = - 2{x^2}y\left( {xy + {y^2}} \right)\)
\(P = - 2{x^3}{y^2} - 2{x^2}{y^3}\)
Thay \(x = - 1;y = 2\) vào biểu thức ta được
\(\begin{array}{l}P = - 2{\left( { - 1} \right)^3}{.2^2} - 2.{\left( { - 1} \right)^2}{.2^3}\\P = 8 - 16 = - 8\end{array}\)
Vậy \(P = - 8\) .
Thu gọn \(6{x^4}{y^2}:{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}y} \right)^2}\), ta được
-
A
$12$
-
B
$24$
-
C
$24{x^2}y$
-
D
$12{x^2}y$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng các công thức lũy thừa của một tích\({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\)và thương các lũy thừa\({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\,\left( {m \ge n,\,m,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Ta có \(6{x^4}{y^2}:{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}y} \right)^2} \)\(= 6{x^4}{y^2}:\left[ {\dfrac{1}{4}{{\left( {{x^2}} \right)}^2}.{y^2}} \right] \)\(= 6{x^4}{y^2}:\left( {\dfrac{1}{4}{x^4}{y^2}} \right) \)\(= 6:\dfrac{1}{4} = 24\)
Kết quả của phép tính $(a{x^2} + bx - c).2{a^2}x$ bằng
-
A
$2{a^4}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} - 2{a^2}cx$
-
B
$2{a^3}{x^3} + bx - c$
-
C
$2{a^4}{x^2} + 2{a^2}b{x^2} - {a^2}cx$
-
D
$2{a^3}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} - 2{a^2}cx$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau: \(A\left( {B + C-D} \right) = AB + AC-AD\)
Ta có
$(a{x^2} + bx - c).2{a^2}x $
$= 2{a^2}x.\left( {a{x^2} + bx - c} \right) $
$= 2{a^2}x.a{x^2} + 2{a^2}x.bx - 2{a^2}x.c$
\( = 2{a^3}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} - 2{a^2}cx\)
Chọn câu đúng.
-
A
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^3} - 2x$
-
B
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^2} - 2x$
-
C
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
-
D
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau: \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\)
Ta có $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) $$= {x^2}.{x^2} + {x^2}.2x - 1.{x^2} - 1.2x $$= {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
Cho \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right).\) Kết quả $x$ bằng:
-
A
$8$
-
B
$ - 8$
-
C
$6$
-
D
$ - 6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thực hiện các phép tính: phá ngoặc, chuyển vế ... để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right)\)\( \Leftrightarrow 72 - 20x - 36x + 84 = 30x - 240 - 6x - 84\)
\( \Leftrightarrow - 56x + 156 = 24x - 324 \)\(\Leftrightarrow 24x + 56x = 156 + 324 \)\(\Leftrightarrow 80x = 480 \Leftrightarrow x = 6\)
Vậy \(x = 6\) .
Cho biểu thức \(P = 2x({x^2} - 4) + {x^2}({x^2} - 9).\) Hãy chọn câu đúng:
-
A
Giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 0\) là \(1\)
-
B
Giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2\) là \( - 20\)
-
C
Giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = - 2\) là \(30\)
-
D
Giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = - 9\) là \(0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Thay \({x_0}\) biểu thức \(P\) rồi thực hiện phép tính.
Thay \(x = 0\) vào \(P\) ta được \(P = 2.0\left( {{0^2} - 4} \right) + {0^2}.\left( {{0^2} - 9} \right) = 0\) nên A sai.
Thay \(x = - 2\) vào \(P\) ta được \(P = 2.\left( { - 2} \right).\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} \right) + {\left( { - 2} \right)^2}.\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 9} \right) = - 20\) nên C sai.
Thay \(x = - 9\) vào \(P\) ta được \(P = 2.\left( { - 9} \right)\left( {{{\left( { - 9} \right)}^2} - 4} \right) + {\left( { - 9} \right)^2}.\left( {{{\left( { - 9} \right)}^2} - 9} \right) = 4446\) nên D sai.
Thay \(x = 2\) vào \(P\) ta được \(P = 2.2.\left( {{2^2} - 4} \right) + {2^2}.\left( {{2^2} - 9} \right) = 4.0 + 4.\left( { - 5} \right) = - 20\) nên B đúng.
Cho biểu thức \(A = x(x + 1) + (1 - x)(1 + x) - x\) . Khẳng định nào sau đây là đúng.
-
A
$A = 2 - x$
-
B
$A < 1$
-
C
$A > 0$
-
D
$A > 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn \(A\) .
Ta có \(A = x(x + 1) + (1 - x)(1 + x) - x\)\( = {x^2} + x + 1 + x - x - {x^2} - x = 1\)
Suy ra $A=1>0.$
Cho biểu thức \(C = x(y + z) - y(z + x) - z(x - y)\). Chọn khẳng định đúng.
-
A
Biểu thức \(C\) không phụ thuộc vào \(x;\,y;\,z\)
-
B
Biểu thức \(C\) phụ thuộc vào cả \(x\) ; \(y\) và \(z\)
-
C
Biểu thức \(C\) chỉ phụ thuộc vào \(y\)
-
D
Biểu thức \(C\) chỉ phụ thuộc vào \(z\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn \(A\) .
Ta có \(C = x(y + z) - y(z + x) - z(x - y)\)\( = xy + xz - yz - xy - zx + zy = \left( {xy - xy} \right) + \left( {zy - zy} \right) + \left( {xz - zx} \right) = 0\)
Nên \(C\) không phụ thuộc vào \(x;\,y;\,z\)
Biểu thức \(D = x({x^{2n - 1}} + y) - y(x + {y^{2n - 1}}) + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5,\)\(D\) có giá trị là:
-
A
\(2{y^{2n}}\)
-
B
\( - 5\)
-
C
\({x^{2n}}\)
-
D
\(5\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và sử dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) rồi rút gọn \(A\)
Ta có \(D = x({x^{2n - 1}} + y) - y(x + {y^{2n - 1}}) + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5\)\( = x.{x^{2n - 1}} + x.y - y.x - y.{y^{2n - 1}} + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5\)
\( = {x^{2n}} + xy - xy - {y^{2n}} + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5 = \left( {{x^{2n}} - {x^{2n}}} \right) + \left( {xy - xy} \right) + \left( {{y^{2n}} - {y^{2n}}} \right) + 5 = 0 + 0 + 0 + 5 = 5\)
Cho hai số tự nhiên \(n\) và \(m\). Biết rằng \(n\) chia \(5\) dư \(1\), \(m\) chia \(5\) dư \(4\). Hãy chọn câu đúng:
-
A
\(m.n\) chia \(5\) dư \(1\)
-
B
\(m - n\) chia hết cho \(5\)
-
C
\(m + n\) chia hết cho \(5\)
-
D
\(m.n\) chia \(5\) dư \(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Biểu diễn \(m\) và \(n\) theo giả thiết
- Tính \(m.n,\,m + n,\,m - n\) rồi đánh giá tinh chia hết của từng biểu thức
Ta có $n$ chia \(5\) dư \(1\) nên \(n = 5p + 1\,\left( {0 < p < n;p \in \mathbb{N}} \right)\) ; \(m\) chia \(5\) dư \(4\) nên \(m = 5q + 4\,\left( {0 < q < m;q \in \mathbb{N}} \right)\)
Khi đó \(m.n = \left( {5p + 1} \right)\left( {5q + 4} \right) = 25pq + 20p + 5q + 4 = 5\left( {5pq + 4p + q} \right) + 4\) mà \(5\left( {5pq + 4p + q} \right) \vdots \,5\) nên \(m.n\) chia $5$ dư \(4\) , phương án A sai, D sai.
Ta có \(m - n = 5q + 4 - \left( {5p + 1} \right) = 5q - 5p + 3\) mà $5p \vdots 5;\,\,5q \vdots 5$ nên \(m - n\) chia \(5\) dư \(3\) , phương án B sai.
Ta có \(m + n = 5q + 4 + 5p + 1 = 5q + 5p + 5 = 5\left( {q + p + 1} \right) \vdots 5\) nên C đúng.
Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao \(2\) đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là:
-
A
\(S = {3x^2} -6x\)
-
B
\(S = \dfrac{{{3x^2} -6x}}{2}\)
-
C
\(S = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{2}\)
-
D
\(S = \dfrac{{{x^2} - 2x - 4}}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang
- Biểu diễn chiều cao và đáy lớn hình thang theo \(x\)
- Sử dụng công thức tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right).h}}{2}\)
Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang .
Theo giả thiết ta có độ dài đáy lớn là \(2x\) , chiều cao của hình thang là \(x - 2\)
Diện tích hình thang là $S = \dfrac{{\left( {x + 2x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = \dfrac{3x(x-2)}{2} = \dfrac{{{3x^2} -6x }}{2}$ (đvdt)
Giá trị của biểu thức \(M = x\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\) là
-
A
$2$
-
B
$1$
-
C
$-1$
-
D
$-2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức rồi rút gọn
Ta có \(M = x\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\)\( = x.{x^3} + x.{x^2} - 3x.x - 2.x - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.x - {x^2} - 2{x^2} - 2x + 2} \right)\)
\( = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x - \left( {{x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\) \( = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x - {x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 2\) \( = - 2\)
Vậy \(M = - 2\) .
Cho \(A = \left( {3x + 7} \right)\left( {2x + 3} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 11} \right);\) \(B = x\left( {2x + 1} \right) - {x^2}\left( {x + 2} \right) + {x^3} - x + 3\)
Chọn khẳng định đúng.
-
A
\(A = B\)
-
B
\(A = 25B\)
-
C
\(A = 25B + 1\)
-
D
\(A = \dfrac{B}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức sau đó rút gọn các biểu thức.
\(A = \left( {3x + 7} \right)\left( {2x + 3} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 11} \right)\)\( = 3x.2x + 3x.3 + 7.2x + 7.3 - \left( {3x.2x + 3x.11 - 5.2x - 5.11} \right)\)
\( = 6{x^2} + 9x + 14x +21 - \left( {6{x^2} + 33x - 10x - 55} \right)\) \( = 6{x^2} + 23x + 21 - 6{x^2} - 33x + 10x + 55\) \( = 76\)
\(B = x\left( {2x + 1} \right) - {x^2}\left( {x + 2} \right) + {x^3} - x + 3\)\( = x.2x + x - \left( {{x^2}.x + 2{x^2}} \right) + {x^3} - x + 3\) \( = 2{x^2} + x - {x^3} - 2{x^2} + {x^3} - x + 3 = 3\)
Từ đó ta có \(A=76;B=3\) mà \(76=25.3+1\) nên \(A = 25B + 1.\)
Gọi \(x\) là giá trị thỏa mãn \(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right)\)\( = 5x + 3\left( {2x - 12} \right) + 1.\) Khi đó
-
A
\(x > 18\)
-
B
\(x < 17\)
-
C
\(17 < x < 19\)
-
D
\(18 < x < 20\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thực hiện các biến đổi phá ngoặc, chuyển vế đổi dấu… rồi rút gọn hai vế đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có
\(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right) \)\(= 5x + 3\left( {2x - 12} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow 15x + 25 - 8x + 12 \)\(= 5x + 6x - 36 + 1\)
\( \Leftrightarrow 7x + 37 = 11x - 35 \)
\(\Leftrightarrow 4x = 72 \)
\(\Leftrightarrow x = 18\)
Vậy \(x = 18.\)
Suy ra $17<x<19$ nên chọn C.
Tính giá trị của biểu thức
\(P = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... - 13x + 10\) tại \(x = 12\) .
-
A
\(P = - 2\)
-
B
\(P = 2\)
-
C
\(P = 4\)
-
D
\(P = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Chú ý rằng \(x = 12\) nên \(x - 12 = 0\) .
Ta biến đổi \(P\) thành nhiều biểu thức chứa \((x - 12)\) rồi thay \(x = 12\) vào \(P\) .
Ta có \(P = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... - 13x + 10\)
\( = {x^{10}} - 12{x^9} - {x^9} + 12{x^8} + {x^8} - 12{x^7} - {x^7} + 12{x^6} + ... + {x^2} - 12x - x + 10\)
\( = {x^9}\left( {x - 12} \right) - {x^8}\left( {x - 12} \right) + {x^7}\left( {x - 12} \right) - ... + x\left( {x - 12} \right) - x + 10\)
Thay \(x = 12\) vào \(P\) ta được
\(P = {12^9}.\left( {12 - 12} \right) - {12^8}\left( {12 - 12} \right) + {12^7}\left( {12 - 12} \right) - ... + 12\left( {12 - 12} \right) - 12 + 10\) \( = 0 + ... + 0 - 2 = - 2\)
Vậy \(P = - 2\) .
Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 2} \right)\)
-
B
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
-
C
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)}}{2}\)
-
D
\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và dữ kiện đề bài để biến đổi \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)
Sử dụng \(AB + AC = A\left( {B + C} \right)\)
Ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)\) \( = 2xy + 2x + 2y + 2\)
Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) ta được
\(2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)\) \( = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Từ đó ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Cho \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\). Chọn kết luận đúng.
-
A
\(B\,\, \vdots \,\,10\) với mọi \(m \in \mathbb{Z}\)
-
B
\(B\,\, \vdots \,\,15\) với mọi \(m \in \mathbb{Z}\)
-
C
\(B\,\, \vdots \,\,9\) với mọi \(m \in \mathbb{Z}\)
-
D
\(B\,\, \vdots \,\,20\) với mọi \(m \in \mathbb{Z}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng nhân đa thức với đa thức để biến đổi biểu thức \(B\)
Sử dụng \(mb\,\, \vdots \,b\) với mọi \(m \ne 0,m \in \mathbb{Z}\)
Ta có \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\)\( = {m^2} + 6m - m - 6 - \left( {{m^2} - 6m + m - 6} \right)\) \( = {m^2} + 5m - 6 - {m^2} + 6m - m + 6 = 10m\)
Nhận thấy \(10\,\, \vdots \,\,10 \Rightarrow 10.m\,\, \vdots \,10\) nên \(B\,\, \vdots \,10\) với mọi giá trị nguyên của \(m.\)
Cho \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) và \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m.\) Biết tổng tất cả các số đó bằng 5 lần tổng \(m + n.\) Khi đó
-
A
\(m = \dfrac{2}{3}n\)
-
B
\(m = n\)
-
C
\(m = 2n\)
-
D
\(m = \dfrac{3}{2}n\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biểu diễn mối quan hệ của các dữ kiện liên quan đến \(m\) và \(n\)
Biến đổi đẳng thức thu được ta tìm được quan hệ của \(m\) và \(n.\)
+ Tổng của \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) là \(m\left( {3n - 1} \right)\)
+ Tổng của \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m\) là \(n\left( {9 - 3m} \right)\)
Tổng tất cả các số trên là \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right)\)
Theo để bài ta có \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right) = 5\left( {m + n} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3mn - m + 9n - 3mn = 5m + 5n\)
\( \Leftrightarrow 6m = 4n \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}n\)
Vậy \(m = \dfrac{2}{3}n\)
Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)
-
A
\(1\)
-
B
\( - 2\)
-
C
\( - 3\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức
Bước 2: Xác định các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả rồi tính tổng của chúng.
Ta có \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)\( = {x^2}.{x^3} + {x^2}.\left( { - 2x} \right) + {x^2}.1 + x.{x^3} + x.\left( { - 2x} \right) + x.1 + 1.{x^3} + 1.\left( { - 2x} \right) + 1.1\)
\( = {x^5} - 2{x^3} + {x^2} + {x^4} - 2{x^2} + x + {x^3} - 2x + 1\) \( = {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - x + 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc ba là \( - 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc hai là \( - 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc nhất là \( - 1\)
Tổng các hệ số này là \( - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3\)
Nếu \(a + b = m\) và \(ab = n\) thì
-
A
\(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + mx + n\)
-
B
\(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + nx + m\)
-
C
\(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} - mx - n\)
-
D
\(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} - mx + n\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức
Bước 2: Thay \(a + b = m\) và \(ab = n\) vào kết quả thu được.
Ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = x.x + x.b + a.x + a.b\) \( = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab\)
Mà \(a + b = m\) và \(ab = n\) nên ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + mx + n.\)
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
-
A
\(a = 9,b = - 4,c = 6.\)
-
B
\(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
-
C
\(a = 9,b = 6,c = 4.\)
-
D
\(a = - 9,b = - 6,c = - 4.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức
Bước 2: Cho các hệ số của các lũy thừa tương ứng ở hai vế bằng nhau ta tìm được các hệ số \(a,b,c.\)
Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\)
\( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\)
Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\)
\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
Cho biết \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\). Khi đó
-
A
\({z^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\)
-
B
\({z^2} = {x^2} + {y^2}\)
-
C
\({z^2} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
-
D
\({z^2} = {x^2} - {y^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để biến đổi dữ kiện đề bài cho, từ đó tìm mối quan hệ của \(x,y,z.\)
Ta có \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow x.x + xz + yx + yz + y.y + yx + zy + zx = 2\left( {z.z + zy + xz + xy} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} = 2{z^2} + 2zy + 2xz + 2xy\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} - 2{z^2} - 2zy - 2xz - 2xy = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{z^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\end{array}\)
Cho các số \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\). Khi đó \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) bằng
-
A
\(ax + 2by + 3cz\)
-
B
\({\left( {2ax + by + 3cz} \right)^2}\)
-
C
\({\left( {2ax + 3by + cz} \right)^2}\)
-
D
\({\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) và tính chất \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\) để biến đổi \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\)
Vì \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\) nên \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k\,\,\), suy ra \(x = ka;y = kb,z = kc\)
Thay \(x = ka;y = kb,z = kc\) vào \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) ta được
\(\left[ {{{\left( {ka} \right)}^2} + 2\left( {k{b^2}} \right) + 3{{\left( {kc} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = \left( {{k^2}{a^2} + 2{k^2}{b^2} + 3{k^2}{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\)
\( = {k^2}\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}{\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)} \right]^2}\)
\( = {\left( {k{a^2} + 2k{b^2} + 3k{c^2}} \right)^2}\) \( = {\left( {ka.a + 2.kb.b + 3.kc.c} \right)^2}\)
\( = {\left( {xa + 2yb + 3zc} \right)^2}\) do \(x = ka;y = kb,z = kc\)
Vậy \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) = {\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)