Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và dây $CD$ không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$AB > CD$
-
B
$AB = CD$
-
C
$AB < CD$
-
D
$AB \le CD$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ có hai dây $AB,CD$ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
-
A
$AB > CD$
-
B
$AB = CD$
-
C
$AB < CD$
-
D
$AB{\rm{//}}CD$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì $ \ldots $với dây ấy”. Điền vào dấu $...$ cụm từ thích hợp.
-
A
nhỏ hơn
-
B
bằng
-
C
song song
-
D
vuông góc
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn
-
A
Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn
-
B
Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn
-
C
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
-
D
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,
Nên phương án B,C,D đúng.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ có bán kính $R = 5\,cm$. Khoảng cách từ tâm đến dây $AB$ là $3\,cm$. Tính độ dài dây $AB$.
-
A
$AB = 6\,cm$
-
B
$AB = 8\,cm$
-
C
$AB = 10\,cm$
-
D
$AB = 12\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng kiến thức “Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy”, sau đó dùng định lý Pytago vào tam giác vuông thích hợp.
Kẻ $OH \bot AB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $AB$.
Xét tam giác $OHB$ vuông tại $H$ có $OH = 3;OB = 5$. Theo định lý Pytago ta có $HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$
Mà $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2HB = 8\,cm$
Vậy $AB = 8\,cm$.
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$có hai dây $AB,CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau tại $I$. Giả sử $IA = 2cm;IB = 4cm$ . Tổng khoảng cách từ tâm $O$ dây $AB,CD$ là
-
A
$4\,cm$
-
B
$1\,cm$
-
C
$3\,cm$
-
D
$2\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng kiến thức “Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm”
Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,
Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$.
Vì dây $AB = CD$ nên $OE = OF$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét tứ giác $OEIF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat I = 90^\circ $ nên $OEIF$ là hình chữ nhật và $OE = OF$ nên $OEIF$ là hình vuông$ \Rightarrow OE = OF = EI$
Mà $AB = IA + IB = 6\,cm \Rightarrow EB = 3\,cm \Rightarrow EI = IB - EB = 1\,cm$ nên $OE = OF = 1\,cm$
Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây $AB,CD$ là $2\,cm$.
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$có hai dây $AB,CD$ vuông góc với nhau ở $M$. Biết$AB = 16\,cm;\,CD = 12\,cm;\,MC = 2\,cm$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là
-
A
$4\,cm$
-
B
$5\,cm$
-
C
$3\,cm$
-
D
$2\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Kẻ các đường vuông góc từ tâm đến dây. Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính và tính chất hình chữ nhật để suy ra khoảng cách.
Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,
Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$,
Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ $ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM = OE$.
Ta có $CD = 12\,cm \Rightarrow FC = 6\,cm$ mà $MC = 2\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4\,cm$ nên $OE = \,4cm$
Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $4\,cm$
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai dây $AB,CD$ vuông góc với nhau ở $M$. Biết $AB = 14\,cm;\,CD = 12\,cm;\,MC = 2\,cm.$ Bán kính $R$ và khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $CD$ lần lượt là
-
A
$8\,cm;\sqrt {29} \,cm$
-
B
$\sqrt {65} \,cm;\sqrt {29} \,cm$
-
C
$\sqrt {29} \,cm;\sqrt {65} \,cm$
-
D
$\sqrt {29} \,cm;\,8\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Kẻ các đường vuông góc từ tâm đến dây. Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính và tính chất hình chữ nhật để suy ra khoảng cách.
Lấy $E$; $F$ lần lượt là trung điểm của hai dây $AB$ và $CD$. Khi đó
\(OE \bot AB;\,OF \bot AC\) lại có \(\widehat {FME} = 90^\circ \) nên \(OEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra $OE=MF=CF-MC=4 \,\ cm.$
Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,
Có $OE = \,4\,cm$, $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = \dfrac{{14}}{2} = 7cm$
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OEA$ ta có $OA = \sqrt {A{E^2} + O{E^2}} = \sqrt {65} $ nên $R = \sqrt {65} $
Lại có $OD = \sqrt {65} \,\ cm ;FD = 6 \,\ cm$ nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFD$ ta có
$OF = \sqrt {O{D^2} - F{D^2}} = \sqrt {29} \,\ cm$. Do đó khoảng cách từ tâm đến dây $CD$ là $\sqrt {29} $$cm$ .
Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$ và một dây $CD$. Kẻ $AE$ và $BF$ vuông góc với $CD$ lần lượt tại $E$ và $F$ . So sánh độ dài $CE$ và $DF$ .
-
A
$CE > DF$
-
B
$CE = 2DF$
-
C
$CE < DF$
-
D
$CE = DF$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Lấy $I$ là trung điểm của $EF$
Bước 2: Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn để hoàn thành.
Lấy $I$ là trung điểm của $EF$
Xét tứ giác $AEFB$ có $AE\,{\rm{//}}FB$ (vì cùng vuông với $EF$) nên $AEFB$ là hình thang vuông tại $E;F$.
Ta có $OI$ là đường trung bình của hình thang $AEFB$ nên $OI\,{\rm{//}}\,AE{\rm{//}}FB$$ \Rightarrow OI \bot EF$
Hay $OI \bot CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$ ( quan hệ giữa dây và đường kính)
Ta có $IE = IF;IC = ID \Rightarrow IE - IC = IF - ID \Leftrightarrow EC = DF$.
Cho đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$. Kẻ hai dây $AC$ và $BD$ song song. So sánh độ dài $AC$ và $BD$ .
-
A
$AC > BD$
-
B
$AC < BD$
-
C
$AC = BD$
-
D
$AC = 3BD$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AC$ tại $E$ và cắt $BD$ tại $F$ thì $EF \bot BD$ tại $F$ vì $AC{\rm{//}}BD.$
Xét hai tam giác vuông $OEA$ và tam giác $OFB$ có $OB = OA;\widehat {EAO} = \widehat {FBO}$ (so le trong)
Nên $\Delta AEO = \Delta BFO$ (ch-gn) $ \Rightarrow OE = OF$$ \Rightarrow AC = DB$ (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau).
Cho đường tròn $\left( O \right),$ dây cung $AB$ và $CD$ với $CD < AB$. Giao điểm $K$ của các đường thẳng $AB$ và $CD$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn $\left( {O;OK} \right),$ đường tròn này cắt $KA$ và $KC$ lần lượt tại $M$ và $N$ . So sánh $KM$ và $KN.$
-
A
$KN > KM$
-
B
$KN < KM$
-
C
$KM = KN$
-
D
$KN = \dfrac{4}{3}KM$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét đường tròn $\left( {O;OB} \right)$
Kẻ $OE \bot CD;OF \bot AB$ tại $E,F$ mà $CD < AB \Rightarrow OE > OF$ ( dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)
Xét đường tròn $\left( {O;OK} \right)$ có $OE \bot KN;OF \bot KM$ tại $E,F$ mà $OE > OF \Rightarrow KN < KM$( liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Cho đường tròn $\left( {O;10\,cm} \right).$ Dây $AB$ và $CD$ song song, có độ dài lần lượt là $16cm$ và $12\,cm$ .Tính khoảng cách giữa hai dây.
-
A
$14cm$
-
B
$10cm$
-
C
$12cm$
-
D
$16\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính để áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông phù hợp.
Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $CD$ tại $E$ và cắt $AB$ tại $F$ thì $EF \bot AB$ vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$.
Khi đó $E$ là trung điểm của $CD$ và $F$ là trung điểm của $AB$ ( đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó). Nên $ED = 6\,cm;\,FB = 8\,cm$; $OD = OB = 10\,cm$
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OED$ ta được $OE = \sqrt {O{D^2} - E{D^2}} = 8\,cm$
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFB$ ta được $OF = \sqrt {O{B^2} - F{B^2}} = 6\,cm$
Vậy khoảng cách giữa hai dây là $EF = OE + OF = 14\,cm$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn và có các đường cao $BD,CE$. So sánh $BC$ và $DE$ .
-
A
$BC = DE$
-
B
$BC < DE$
-
C
$BC > DE$
-
D
$BC = \dfrac{2}{3}DE$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Tìm đường tròn đi qua bốn đỉnh $B,D,C,E$
Bước 2: Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính.
Lấy $I$ là trung điểm của $BC$
Xét tam giác vuông $BDC$ có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$
Xét tam giác vuông $BEC$ có $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$
Từ đó $ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ hay bốn điểm $B,C,D,E$ cùng thuộc đường tròn $\left( {I;\dfrac{{BC}}{2}} \right)$
Xét $\left( {I;\dfrac{{BC}}{2}} \right)$ có $BC$ là đường kính và $DE$ là dây không đi qua tâm nên $BC > DE$.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = 14cm$, dây $CD$ có độ dài $12cm$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nằm giữa $O$ và $B$. Độ dài $HA$ là
-
A
$7 + \sqrt {13} \,cm$
-
B
$7 - \sqrt {13} \,cm$
-
C
$7\,cm$
-
D
$7 - 2\sqrt {13} \,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính: “ Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó”
+) Sử dụng định lý Pytago
Xét $\left( O \right)$ có $AB \bot CD$ tại $H$ và $AB$ là đường kính nên $H$ là trung điểm của $CD$$ \Rightarrow HD = HC = \dfrac{{CD}}{2} = 6\,cm$
Vì $AB = 14 \Rightarrow OA = OB = OD = \dfrac{{14}}{2} = 7\,cm$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OHD$ ta được $OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {13} $
Khi đó $HA = OA + OH = 7 + \sqrt {13} \,cm$.
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một dây \(CD.\) Từ \(O\) kẻ tia vuông góc với \(CD\) tại \(M,\) cắt \(\left( {O;R} \right)\) tại \(H\) . Biết \(CD = 16cm;\,MH = 4cm.\) Bán kính \(R\) bằng
-
A
\(12\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
-
B
\(10\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
-
C
\(12\left( {cm} \right)\)
-
D
\(10\left( {cm} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông.
Do \(OM \bot CD \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}.16 = 8\,\,\left( {cm} \right).\)
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \( \Rightarrow OC = R\).
Ta có \(OM = OH - HM = R - 4\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OMC\) ta có:
\(\begin{array}{l}O{C^2} = C{M^2} + O{M^2} \Rightarrow {R^2} = {8^2} + {\left( {R - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {R^2} = 64 + {R^2} - 8R + 16 \Leftrightarrow R = 10\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)