Cho hình nón có bán kính đáy \(R = 3\,\left( {cm} \right)\) và chiều cao \(h = 4\,\left( {cm} \right)\) . Diện tích xung quanh của hình nón là
-
A
\(25\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B
\(12\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\)
-
C
\(20\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\)
-
D
\(15\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức liên hệ \({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tính đường sinh
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\)
Vì \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = {l^2}\)
\(\Leftrightarrow {l^2} = 25 \Rightarrow l = 5\,cm\)
Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.5 = 15\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình nón có đường kính đáy \(d = 10\,cm\) và diện tích xung quanh \(65\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\). Tính thể tích khối nón.
-
A
\(100\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
B
\(120\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
C
\(300\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
D
\(200\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\) để tính đường sinh.
Sử dụng công thức liên hệ \({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tìm chiều cao hình nón
Sử dụng công thức thể tich khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\,cm\)
Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .5.l = 65\pi \)
\(\Rightarrow l = 13\,cm\)
Ta có \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {5^2} + {h^2} = {13^2} \Leftrightarrow {h^2} = 144\)
\(\Rightarrow h = 12\,cm\)
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.5^2}.12 \)
\(= 100\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\,cm\) và thể tích \(V = 1000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính diện tích toàn phần của hình nón
-
A
\(100\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B
\((300+200\sqrt3)\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
C
\(300\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
D
\(250\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức thể tich khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) để tính bán kính đường tròn đáy
Sử dụng công thức liên hệ\({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tìm đường sinh của hình nón
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\)
Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi \Rightarrow {R^2} = 300 \Rightarrow R = 10\sqrt 3 \)
Và \({R^2} + {h^2} = {l^2} \Leftrightarrow {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2} \Leftrightarrow l = 20\,cm\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt3.20 + \pi.300= (300+200\sqrt3)\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là $10\,cm$ và $5cm$, chiều cao là $20cm$ . Tính dung tích của xô.
-
A
\(\dfrac{{3500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
B
\(3500\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
C
\(\dfrac{{350\pi }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
D
\(350\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính thể tích khối nón cụt $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}).$
Ta có $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) = \dfrac{1}{3}\pi .20.\left( {{{10}^2} + 10.5 + {5^2}} \right) = \dfrac{{3500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)$
Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 20\,cm;AC = 12\,cm\) . Quay tam giác \(ABC\) cạnh \(AB\) ta được một hình nón có thể tích là :
-
A
\(2304\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
B
\(1024\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
C
\(786\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
D
\(768\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$
Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) ta được một hình nón có chiều cao \(AB\) và bán kính đường tròn đáy là cạnh \(AC\) .
Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} \Rightarrow AB = 16\)
Thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \dfrac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho hình thang vuông $ABDC$ vuông tại $A$ và $B$ , biết cạnh $AB = BC = 3m,AD = 5cm$. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh $AB$ .
-
A
$7\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$
-
B
$7\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$
-
C
$7\sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$
-
D
$\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Tính đáy \(BD\)và \(CD\) theo định lý Pytago
Sử dụng công thức diện tích xung quanh hình nón cụt ${S_{xq}} = \pi (R + r)l.$
Xét tam giác vuông \(ABD\) ta có \(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\,\,\left( {cm} \right)\)
Kẻ $CH \bot BD$ tại \(H\) . Khi đó \(ACHB\) là hình vuông nên\(CH = AB = AC = BH = 3\,cm \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1\,cm\)
Xét tam giác vuông \(CHD\) ta có \(C{D^2} = C{H^2} + H{D^2} = {3^2} + {1^2}=10\Rightarrow CD = \sqrt {10} \)
Khi quay hình thang vuông \(ABDC\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \(AC\) , bán kính đáy lớn \(BD\) , đường sinh \(CD\) và chiều cao \(AB\) .
Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là ${S_{xq}} = \pi (R + r)l = \pi \left( {3 + 4} \right)\sqrt {10} = 7\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$
Nếu ta tăng bán kính đáy và chiều cao của một hình nón lên hai lần thì diện tích xung quanh của hình nón đó
-
A
Tăng \(4\) lần
-
B
Giảm \(4\) lần
-
C
Tăng \(2\) lần
-
D
Không đổi
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức liên hệ \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\) .
Ta có đường sinh mới\({l'^2} = {\left( {2R} \right)^2} + {\left( {2h} \right)^2} = 4\left( {{R^2} + {h^2}} \right) = {\left( {2l} \right)^2} \Rightarrow l' = 2l\)
Khi đó diện tích xung quanh mới \({S'_{xq}} = \pi .\left( {2R} \right).\left( {2l} \right) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}\) .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \(4\) lần.
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) , đường trung tuyến \(AM\) . Quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AM\) . Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.
-
A
\(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\)
-
B
\(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\)
-
C
\(\dfrac{{5\pi {a^2}}}{2}\)
-
D
\(\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) .
Xét tam giác \(ABC\) đều có \(AM\) vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Nên ta có \(MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) .
Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh \(AM\) ta được hình nón đỉnh \(A\) , bán kính đáy là \(MC\) , đường sinh \(AC\) và chiều cao \(AM\) .
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\) .
Cho một hình quạt tròn có bán kính \(20\,cm\) và góc ở tâm là ${144^o}$ . Người ta uốn hình quạt này thành một hình nón. Tính thể tích của khối nón đó.
-
A
\(256\pi \sqrt {21} \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
B
\(\dfrac{{24\pi \sqrt {21} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
C
\(\dfrac{{256\pi }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
D
\(\dfrac{{256\pi \sqrt {21} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$
Ta uốn hình quạt \(BAC\) thành hình nón đỉnh \(A\) , đường sinh \(AB = 20\,cm\) .
Khi đó độ dài cung \(BC\) chính là chu vi đáy của hình nón
Ta có độ dài cung \(BC\) là \({l_{BC}} = \dfrac{{\pi .20.144}}{{180}} = 16\pi \)
Khi đó chu vi đáy của hình nón \(C = 2\pi R = 16\pi \Rightarrow R = 8\,cm\) \( \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {R^2} = {20^2} - {8^2} \Rightarrow h = 4\sqrt {21} \,cm\)
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {.8^2}.4\sqrt {21} = \dfrac{{256\pi \sqrt {21} }}{3}\) \(\left( {c{m^3}} \right)\)
Từ một khúc gỗ hình trụ cao$15\,cm$, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là $640\pi \,\,c{m^3}$ .
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
-
A
\(960\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
B
\(320\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
C
\(640\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
-
D
\(690\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\) và thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}{R^2}h\) để suy ra mối quan hệ giữa thể tích hai khối và phần gỗ bỏ đi.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 640\pi :\dfrac{2}{3} = 960\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
-
A
\(136\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B
\(120\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
C
\(272\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
D
\(163\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\) để tìm bán kính đáy
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón \(S = \pi Rl\).
Ta có \({V_t} = \pi {R^2}h = 960\pi \)
\(\Leftrightarrow \pi {R^2}.15 = 960\pi \)
\( \Rightarrow R = 8\,cm\) nên bán kính đáy của hình nón là \(R = 8\,cm\).
Chiều cao hình nón \(h = 15\,cm\) \( \Rightarrow \) đường sinh hình nón \({l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 17\,cm\)
Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = \pi .8.17 = 136\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) .