Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
-
A
$\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$
-
B
$\left( {x;y} \right) = \left( {4; - \dfrac{3}{2}} \right)$
-
C
$\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - 4} \right)$
-
D
$\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$
-
A
$x - y = - 1$
-
B
$x - y = 1$
-
C
$x - y = 0$
-
D
$x - y = 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)
$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$
-
A
$3\sqrt 2 + 2$
-
B
$ - 3\sqrt 2 - 2$
-
C
$2\sqrt 2 - 2$
-
D
$3\sqrt 2 - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x\sqrt 2 + y\sqrt 6 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x\sqrt 2 - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2 - 3 = 3\sqrt 2 - 2$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$
-
A
$2$
-
B
$0$
-
C
$-2$
-
D
$1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\4\sqrt x + 2\sqrt y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y = 0\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y = 0\\2\sqrt x = 2\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$
-
A
$2$
-
B
$ - 2$
-
C
$ - \dfrac{1}{2}$
-
D
$\dfrac{1}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
ĐK: $x \ne 0$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + 2y = 6\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{x} + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = - 1\end{array} \right.(TM)$
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{x}{y} = - \dfrac{1}{2}$
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)là
-
A
$2$
-
B
Vô số
-
C
$1$
-
D
$0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y = - 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y = - 17\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y = - 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + y = - 17\\40y = 280\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x = 4\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 4;7} \right)$
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)
-
A
$x > 0;y < 0$
-
B
$x < 0;y < 0$
-
C
$x < 0;y > 0$
-
D
$x > 0;y > 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {31; - 3} \right)$.
$ \Rightarrow x > 0;y < 0$
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?
-
A
$\left\{ \begin{array}{l}x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}42x + 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 4x + 5y = 3\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số
(Có thể sử dụng định nghĩa: hai hệ phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$
Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\2\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 4\end{array} \right.\)
-
A
$x.y = 16$
-
B
$x + y = 10$
-
C
$x - y = 6$
-
D
$y:x = 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Điều kiện: $x \ge 1;y \ge 0$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\2\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\
4\sqrt {x - 1} - 2\sqrt y = 8
\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 1} - \sqrt y = 4\\7\sqrt {x - 1} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 3\\3.3 + 2\sqrt y = 13\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 9\\
2\sqrt y = 4
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 10\\
y = 4
\end{array} \right.\)(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {10;4} \right)$.
Nên $x - y = 10 - 4 = 6.$
Tìm $a,b$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by = - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$
có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.
-
A
$a = \dfrac{1}{2};b = 1$
-
B
$a = - \dfrac{1}{2};b = 1$
-
C
$a = \dfrac{1}{2};b = - 1$
-
D
$a = - \dfrac{1}{2};b = - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có nghiệm \(({x_0};{y_0})\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..\)
Đưa về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$ bằng phương pháp thế.
Thay $x = 3;y = - 4$ vào hệ phương trình ta được
$\left\{ \begin{array}{l}2a.3 + b\left( { - 4} \right) = - 1\\b.3 - a.\left( { - 4} \right) = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 4b = - 1\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12a - 8b = - 2\\12a + 9b = 15\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17b = 17\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
Vậy $a = \dfrac{1}{2};b = 1$
Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:
-
A
$x;y$ nguyên dương
-
B
$x;y$ là số vô tỉ
-
C
$x;y$ nguyên âm
-
D
$x$ nguyên dương, $y$ không âm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 7;y \ge 0$
Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y + 6}} = b$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}7a - 4b = \dfrac{5}{3}\\5a + 3b = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\20a + 12b = \dfrac{{26}}{3}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\41a = \dfrac{{41}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\21.\dfrac{1}{3} - 12b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$
Trả lại biến ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 7 = 3\\\sqrt y + 6 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {100;0} \right)$.
Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} = - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)
cũng là nghiệm của phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\).
-
A
$m = - 1$
-
B
$m = 1$
-
C
$m = 2$
-
D
$m = 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1 : Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 2 : Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình chưa tham số $m$ để tìm $m$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} = - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40x + 20 - 15y - 15 = 48x - 24y + 24\\6x - 9 - 4y + 16 = - 24x + 24y - 24\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x - 9y = - 19\\30x - 28y = - 31\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}120x - 135y = - 285\\120x - 112y = - 124\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{2}\\y = 7\end{array} \right.$
Thay $x = \dfrac{{11}}{2};y = 7$ vào phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\) ta được
$6m.\dfrac{{11}}{2} - 5.7 = 2m - 66$
$\Leftrightarrow 31m = -31$ $\Leftrightarrow m = -1.$
Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).
-
A
\(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)
-
B
\(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)
-
C
\(a = 1;b = 1\)
-
D
\(a = - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow a{x_0} + b = {y_0}\)
Từ đề bài ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn \(a;b\). Giải hệ phương trình ta tìm được \(a;b.\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \Leftrightarrow - 4a + b = - 2\) (1)
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {2;1} \right) \Leftrightarrow 2a + b = 1\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\2.\dfrac{1}{2} + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)
Hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\) tương đương khi và chỉ khi:
-
A
\(a = 2\)
-
B
\(a = - 2\)
-
C
\(a = 6\)
-
D
\(a = - 6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Hai hệ phương trình tương đương khi có cùng tập nghiệm.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)
Để hai hệ phương trình tương đương thì \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) cũng là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.1 - 1 = 2\,\\a.1 + 2.1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\)
Biết rằng khi \(m\) thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng \(y = 3x - m - 1\) và \(y = 2x + m - 1\) luôn nằm trên đường thẳng \(y = \,ax + b\) . Khi đó tổng \(S = a + b\) là
-
A
\(S = 6\)
-
B
\(S = \dfrac{7}{2}\)
-
C
\(S = \dfrac{3}{2}\)
-
D
\(S = 4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Cô lập \(m\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thõa mãn hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - m - 1\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x + m - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta có: \(2y = 5x - 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2}x - 1\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{2}\\b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}\).