Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ cắt nhau khi
-
A
$a \ne a'$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
\(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ có $a = a'$ và $b \ne b'$. Khi đó
-
A
$d{\rm{//}}d'$
-
B
$d \equiv d'$
-
C
$d$ cắt $d'$
-
D
$d \bot d'$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d':y = - 2x$. Khi đó
-
A
$d{\rm{//}}d'$
-
B
$d \equiv d'$
-
C
$d$ cắt $d'$
-
D
\(d \bot d'\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\)cắt$d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
Ta thấy $d:y = x + 3$ có $a = 1$ và $d':y = - 2x$ có $a' = - 2$$ \Rightarrow a \ne a'\left( {1 \ne - 2} \right)$ nên $d$ cắt $d'$.
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $d'$?
-
A
$m \ne - 2$
-
B
$m \ne - 4$
-
C
$m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}$
-
D
$m \ne \left\{ {2; - 4} \right\}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+) Tìm điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $a\ne 0$
+) Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2$ .
+) Để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất thì $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
+) Để \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\)
$ \Leftrightarrow m + 2 \ne - 2 \Leftrightarrow m \ne - 4$
Vậy $m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}$.
Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của $m$ thì $d$//$d'$
-
A
$m = - 2$
-
B
$m = - 4$
-
C
$m = 2$
-
D
$m \ne \left\{ {2; - 4} \right\}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2 \ne 0$ .
Để \(d\)//$d'$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\ - m \ne - 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 4$ (TM) .
Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ .Với giá trị nào của $m$ thì $d \equiv d'$?
-
A
$m = - 2$
-
B
$m = - 4$
-
C
$m = 2$
-
D
Không có $m$ thỏa mãn
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2$ .
+) Điều kiện để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
+) Để \(d\)$ \equiv $$d'$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\ - m = - 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 1\end{array} \right.$ (vô lý)
Vậy không có giá trị nào của $m$ để \(d\)$ \equiv $$d'$.
Cho hàm số $y = \left( {m - 5} \right)x - 4$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $5$ khi $x = 3$.
-
A
$m = 6$
-
B
$m = 7$
-
C
$m = 8$
-
D
$m = - 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay $x,y$ vào hàm số đã cho để tìm $m.$
Thay $x = 3;y = 5$ vào hàm số $y = \left( {m - 5} \right)x - 4$ ta được $\left( {m - 5} \right).3 - 4 = 5 \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right).3 = 9 \Leftrightarrow m - 5 = 3 \Leftrightarrow m = 8$
Vậy $m = 8$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ - 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$.
-
A
$y = 2x + 2$
-
B
$y = - 2x - 2$
-
C
$y = 3x - 2$
-
D
$y = 2x - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có \(y = ax + b\) với \(a \ne 0\) là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;b} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Bước 2: Thay tọa độ hai điểm $A,B$ vào phương trình đường thẳng để tìm hệ số $a,b$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ - 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$ nên $d$ đi qua hai điểm $A\left( {0; - 2} \right);B\left( {1;0} \right)$.
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.0 + b = - 2 \Rightarrow b = - 2$.
Thay tọa độ điểm $B$ và $b = - 2$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 2x - 2$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d':y = 3x + 1$ và đi qua điểm $M\left( { - 2;2} \right)$.
-
A
$y = 2x + 8$
-
B
$y = 3x + 8$
-
C
$y = 3x - 8$
-
D
$y = 3x$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ song song.
Bước 3: Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Vì $d$//$d'$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow d:y = 3x + b$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $3.\left( { - 2} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b = 8$( thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 3x + 8$
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với đường thẳng $d':y = - \dfrac{1}{2}x + 3$ và đi qua điểm $M\left( {2; - 1} \right)$.
-
A
$y = 2x + 5$
-
B
$y = - x + 4$
-
C
$y = 2x - 5$
-
D
$y = - \dfrac{1}{2}x$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ vuông góc.
Bước 3: Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Vì $d$$ \bot $$d'$ nên $a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = 2$ (TM)
$ \Rightarrow d:y = 2x + b$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2.2 + b = - 1 \Leftrightarrow b = - 5$
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 2x - 5$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(y = \dfrac{1}{3}x + 3\) và cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có tung độ bằng 5.
-
A
$y = - 3x + 11$
-
B
$y = - 3x + 4$
-
C
$y = - 3x$
-
D
$y = 3x + 11$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ vuông góc.
Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M$ là giao của đường thẳng \(d\) với đường thẳng cho trước rồi thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Vì $d$$ \bot $$d'$ nên $a.\dfrac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$$ \Rightarrow d:y = - 3x + b$
Gọi điểm $M\left( {x;5} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng \(y = 2x + 1\)
Khi đó $2x + 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$$ \Rightarrow M\left( {2;5} \right)$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 3.2 + b = 5 \Leftrightarrow b = 11$
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = - 3x + 11$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(3\) .
-
A
$y = - 2x + 6$
-
B
$y = - 3x + 6$
-
C
$y = - 2x - 4$
-
D
$y = - 2x + 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ song song.
Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M$ là giao của đường thẳng \(d\)với trục hoành rồi thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0).$
Vì \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) nên $a = - 2;b \ne 1 \Rightarrow y = - 2x + b$
Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ $\left( {3;0} \right)$
Thay $x = 3;y = 0$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = 6\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y = - 2x + 6$
Vậy $d:y = - 2x + 6$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right);B\left( { - 2;0} \right).$
-
A
$y = - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3}$
-
B
$y = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$
-
C
$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3}$
-
D
$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $(a \ne 0)$
Bước 2: Thay tọa độ hai điểm $A,B$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hệ số $a,b$.
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a + b = 2$$ \Rightarrow b = 2 - a$
Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 2a + b = 0$$ \Rightarrow b = 2a$
Suy ra $2a = 2 - a \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}$ (TM)
$ \Rightarrow b = 2.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
Vậy $d:y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d:y = 3mx - \left( {m + 3} \right)$ đi qua với mọi $m$.
-
A
$M\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$
-
B
$M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$
-
C
$M\left( { - \dfrac{1}{3}; - 3} \right)$
-
D
$M\left( -{\dfrac{1}{3};3} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.
Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.
Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$
Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.
Khi đó $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm.
Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm khi đó
$3mx - \left( {m + 3} \right) = y\,$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow 3mx - m - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow m\left( {3x - 1} \right) + - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\ - 3 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$
Vậy điểm $M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$ là điểm cố định cần tìm.
Cho tam giác \(ABC\) có đường thẳng \(BC:y = - \dfrac{1}{3}x + 1\) và \(A\left( {1,2} \right)\) . Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) .
-
A
\(y = 3x - \dfrac{2}{3}\)
-
B
\(y = 3{\rm{x}} + \dfrac{2}{3}\)
-
C
\(y = 3{\rm{x}} + 2\)
-
D
Đáp án khác
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng kiến thức
+) Cho \(d:\, y=ax+b \,(a\ne 0)\) và \(d':\, y=a'x+b'\,(a'\ne 0)\), thì \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\)
+) Điểm thuộc đường thẳng.
Giả sử \(AH:y = {\rm{ax}} + b\)
Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên: \(a.\dfrac{{ - 1}}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = 3\)
Mặt khác \(AH\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = - 1\)
Vậy \(AH:y = 3x - 1\).
Cho đường thẳng \(d:y = ({m^2} - 2m + 2)x + 4\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\) và cắt \(Oy\) tại \(B\) sao cho diện tích tam giác \(AOB\) lớn nhất.
-
A
\(m = 1\)\(\)
-
B
\(m = 0\)
-
C
\(m = - 1\)
-
D
\(m = 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.
Biện luận và giải phương trình.
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 2m + 2)x_A + 4 = 0 \\\Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right)\\ \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\end{array}\)
\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB \)\(= \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right| \)\(= \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}}\)
Ta có \({(m - 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}\)
Do đó \({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Hay tam giác \(OAB\) có diện tích lớn nhất là \(8\) khi \(m=1.\)
Điểm cố định mà đường thẳng \(d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)\) luôn đi qua là:
-
A
\(M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)\)
-
B
\(M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\)
-
C
\(M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)\)
-
D
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua\( \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,\forall m \Leftrightarrow m.A + B = 0,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình tìm nghiệm.
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3 + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)\)là điểm cố định mà d luôn đi qua.
Cho đường thẳng \(d:y = (2m + 1)x - 1\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{1}{2}\).
-
A
\(m = 0\)
-
B
\(m = 1\)
-
C
\(m = - 1\)
-
D
Cả A và C đều đúng
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và các trục tọa độ
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm \(m\)
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow x_B = 0 \Rightarrow y_B = - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\} \Rightarrow y_A = 0 \\\Leftrightarrow (2m + 1)x - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{2m + 1}}(m \ne \dfrac{{ - 1}}{2})\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right|\end{array}\)
\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow |2m + 1| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\end{array} \right.(tmdk)\)
Cho đường thẳng \(d:y = mx + m - 1\). Tìm \(m\) để d cắt \(Ox\) tại \(A\) và cắt \(Oy\) tại \(B\) sao cho tam giác \(AOB\) vuông cân.
-
A
\(m < 1\)
-
B
\(m = 1\)
-
C
\(m > 1\)
-
D
\(m = 1\) hoặc \(m = - 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng kiến thức
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.
Điều kiện để có tam giác cân.
Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = m - 1\\ \Rightarrow B(0;m - 1) \Rightarrow OB = |m - 1|\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow mx_A + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{{1 - m}}{m}(m \ne 0)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{1 - m}}{m}} \right|\end{array}\)
Tam giác OAB vuông cân tại O
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow |m - 1| = \left| {\dfrac{{1 - m}}{m}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = \dfrac{{1 - m}}{m}\\m - 1 = \dfrac{{m - 1}}{m}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\(m - 1)\left( {1 - \dfrac{1}{m}} \right) = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 1\\\dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{m} = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)
Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = 2x + 2019\) và cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - 2} \right).\) Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^3}\) bằng:
-
A
\( - 6\)
-
B
\( - 2\)
-
C
\( - 4\)
-
D
\(12\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:\({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 2019\end{array} \right. \Rightarrow {d_1}:\,\,\,y = 2x + b.\)
\({d_1}\) cắt trục tung tại \(A\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow - 2 = 2.0 + b \Leftrightarrow b = - 2\,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^3} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^3} = 4 - 8 = - 4.\)