Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài $7,5m.$ Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${42^0}.$ Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
-
A
$6,753\,m$
-
B
$6,75\,m$
-
C
$6,751\,m$
-
D
$6,755\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có chiều cao cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ $
Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có
$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ \simeq 6,753\,\,m$
Vậy cột đèn cao $6,753\,m$
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
-
A
$3,95\,m$
-
B
$3,8\,m$
-
C
$4,5\,m$
-
D
$4,47\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có độ dài của mặt cầu trượt là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $
Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có
$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ \simeq 4,47\,m$
Vậy độ dài của mặt cầu trượt là $4,47\,m.$
Một cột đèn điện $AB$ cao $6m$ có bóng in trên mặt đất là $AC$ dài $3,5m.$ Hãy tính góc $\widehat {BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
-
A
$58^\circ 45'$
-
B
$59^\circ 50'$
-
C
$59^\circ 45'$
-
D
$59^\circ 4'$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.
Ta có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{{3,5}} = \dfrac{{12}}{7} \Rightarrow \widehat C \simeq 59^\circ 45'$
Một cây tre cau $9m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3m$. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?
-
A
$6\,m$
-
B
$5m$
-
C
$4\,m$
-
D
$3\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng định lý Py-ta-go: "Tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền"
Giả sử $AB$ là độ cao của cây tre, $C$ là điểm gãy.
Đặt $AC = x (0<x<9)\Leftrightarrow CB = CD = 9-x$. Vì $\Delta ACD$ vuông tại $A$
Suy ra \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {3^2} = {\left( {9 - x} \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow x = 4\) (TM)
Vậy điểm gãy cách gốc cây $4m.$
Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài $4\,m$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là ${65^0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A
$1,76\,m$
-
B
$1,71\,\,m$
-
C
$1,68\,m$
-
D
$1,69\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có $BC = 4\,\,m;\widehat C = 65^\circ $. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 4.\cos 65^\circ \simeq 1,69\,\,m$.
Một máy bay đang bay ở độ cao $10km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là ${15^0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? ( làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân)
-
A
$37,32\,km$
-
B
$373,2\,km$
-
C
$38,32\,km$
-
D
$37,52\,km$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Từ giả thiết suy ra $AC = 10\,\,km;\,\,\widehat B = 15^\circ $.
Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.\cot B = 10.\cot 15^\circ \simeq 37,32\,km$
Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là ${40^0}$. Biết rằng khúc cây còn đứng cao $1\,m$ . Tính chiều cao lúc đầu của cây.
-
A
$2,61\,m$
-
B
$2,81\,m$
-
C
$2,58\,m$
-
D
$2,56\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là $AD$; sau khi bị sét đánh thì cây còn lại $AC = 1\,\,m;\widehat {CBA} = 40^\circ $và $CD = CB$.
Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BC = \dfrac{{AC}}{{\sin 40^\circ }} = 1,56\,m$ nên $CD=1,56\,m$
Suy ra $AD = AC + CD $
$= 1 + 1,56 = 2,56\,m$.
Vậy cây cao $2,56\,m$.
Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc $500\,km/h$ . Đường bay lên tạo với phương ngang một góc ${30^0}$. Hỏi sau $1,2$ phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu?
-
A
$7\,km$
-
B
$5\,km$
-
C
$6\,km$
-
D
$8\,km$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đổi $1,2' = \dfrac{1}{{50}}h$.
Sau $1,2$ phút máy bay ở $C$.
Quãng đường bay được là $BC = 500.\dfrac{1}{{50}} = 10\,km$ và $\widehat B = 30^\circ $
Nên $AC = BC.\sin 30^\circ = 5\,km$.
Vậy máy bay đạt được độ cao là $5\,km$ sau $1,2$ phút.
Một khúc sông rộng khoảng $250m$. Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng $320m$ mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ?
-
A
$30^\circ $
-
B
$40^\circ $
-
C
$38^\circ 37'$
-
D
$39^\circ 37'$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để suy ra góc.
Ta có khúc sông $AC = 250\,m$, quãng đường thuyền đi là $BC = 320\,m$
Góc lệch là $\widehat C$.
Ta có $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{250}}{{320}} \Rightarrow \widehat C \simeq 38^\circ 37'$
Vậy góc lệch là $38^\circ 37'$.
Hai bạn học sinh Trung và Dũng đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau $100m$ thì nhìn thấy một chiếc diều ( ở vị trí $C$ giữa hai bạn). Biết góc ''nâng'' để nhìn thấy diều ở vị trí của Trung là ${50^0}$ và góc ''nâng'' để nhìn thấy diều ở vị trí của Dũng là ${40^0}$ . Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A
$49,26\,m$
-
B
$49,24\,m$
-
C
$50\,m$
-
D
$51\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Độ cao của diều là $CD$, độ dài $AB = 100\,m$. Trung đứng ở $A$ , Dũng đứng ở $B$ .
Gọi $AD = x\left( {0 < x < 100} \right)$
$ \Rightarrow BD = 100 - x$
Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có $CD = AD.\tan A = x.\tan 50^\circ $
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có $CD = BD.{\mathop{\rm tanB}\nolimits}$
$ = \left( {100 - x} \right).\tan 40^\circ $
Nên $x.\tan 50^\circ = \left( {100 - x} \right)\tan 40^\circ $
$ \Rightarrow x \simeq 41,32$ (thoả mãn)
$ \Rightarrow CD = 41,32.\tan50^\circ \simeq 49,24\,m$
Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là $49,24\,m$.
Hai bạn học sinh $A$ và $B$ đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 80 m thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở vị trí $C$ nằm trên tia $AB$ và $AC>AB$). Biết góc ''nâng'' để nhìn thấy máy bay ở vị trí của $B$ là \(55^\circ \) góc ''nâng'' để nhìn thấy máy bay ở vị trí của $A$ là $40^\circ $. Hãy tính độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A
$162,75\,m$
-
B
$162,95\,m$
-
C
$163,75\,m$
-
D
$180\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Độ cao của máy bay là $CD$, độ dài $AB=80\,m$.
Gọi $BC = x (x>0)\Rightarrow AC = 80 + x$
Xét tam giác $BDC$ vuông tại $C$ có $CD = x.\tan 55^\circ $
Xét tam giác $ADC$ vuông tại $C$ có $CD = \left( {80 + x} \right).\tan 40^\circ $
Suy ra $x\tan 55^\circ = \left( {80 + x} \right)\tan 40^\circ $
$\Leftrightarrow x \simeq 113,96\,m$
$ \Rightarrow CD = 113,96.\tan 55^\circ $
$\simeq 162,75\,m$
Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là $162,75\,m$.
Bạn Thanh đứng tại vị trí \(A\) cách cây thông \(6m\) và nhìn thấy ngọn của cây này dưới một góc bằng \({55^0}\) so với phương nằm ngang (như hình vẽ). Biết khoảng cách từ mắt của bạn Thanh đến mặt đất bằng \(1,6m.\) Chiều cao \(BC\) của cây thông bằng (làm tròn đến số thập phân thứ hai):
-
A
\(5,80m\)
-
B
\(8,57m\)
-
C
\(6,51m\)
-
D
\(10,17m\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để làm bài.
Đặt các điểm \(D,\,\,E\) như hình vẽ.
Xét \(\Delta CDE\) vuông tại \(E\) ta có:
\(CE = DE.\tan {55^0} = 6.\tan {55^0} \approx 8,57\,m.\)
\( \Rightarrow \) Chiều cao của cây là: \(BC = CE + BE = 8,57 + 1,6 = 10,17\,\,m.\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(C,\) biết rằng từ vị trị \(A\) ta đo được \(AB = 234\,m,\,\,\,AC = 185\,m\) và \(\angle BAC = {53^0}\) (kết quả tính bằng mét và làm tròn đến hàng đơn vị).
-
A
\(190m\)
-
B
\(191m\)
-
C
\(192m\)
-
D
\(193m\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Từ \(C,\) dựng đường vuông góc với \(AB,\) cắt \(AB\) tại \(D.\)
Khi đó ta có: \(CD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong
\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sin \angle A = \dfrac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\\cos \angle A = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow BD = AB - AD.\end{array}\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta BCD\) để tính \(BC.\)
Từ \(C,\) dựng đường vuông góc với \(AB,\) cắt \(AB\) tại \(D.\)
Khi đó ta có: \(CD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong
\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sin \angle A = \dfrac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\ \Rightarrow CD = 185.\sin {53^0}.\\\cos \angle A = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow AD = 185.\cos {53^0}.\\ \Rightarrow BD = AB - AD = 234 - 185.\cos {53^0}.\end{array}\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta BCD\) để tính \(BC.\)
\(\begin{array}{l}B{C^2} = B{D^2} + C{D^2} = {\left( {234 - 185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} - 2.234.185\cos {53^0} + {\left( {185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} - 2.234.185\cos {53^0} + {185^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 36875,86\\ \Rightarrow BC \approx 192\,m.\end{array}\)