Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P\end{array} \right.$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
-
A
${S^2}-P < 0.$
-
B
${S^2}-P \ge 0.$
-
C
${S^2}-4P < 0.$
-
D
${S^2}-4P \ge 0.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Hệ phương trình đối xứng loại 1 với cách đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {S^2} - 4P \ge 0\).
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {x;y} \right)\) với \(x > y\) . Khi đó tích $xy$ bằng
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$2$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Thêm bớt phương trình đầu để xuất hiện tổng \(x + y\) và tích $xy$
+ Sử dụng phương pháp thế
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\end{array} \right.\)
Từ \(xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\y = 0 \Rightarrow x = 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\)
Từ giả thiết \(x > y\) nên $x = 2;y = 0 \Rightarrow xy = 0$
Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.$
-
A
có $2$ nghiệm \(\left( {2;3} \right)\) và \(\left( {1;5} \right)\).
-
B
có 2 nghiệm \(\left( {2;1} \right)\) và \(\left( {3;5} \right)\).
-
C
có $1$ nghiệm là \(\left( {5;6} \right).\)
-
D
có 4 nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$
+ Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\)
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\xy\left( {x + y} \right) = 30\end{array} \right.$
Đặt \(S = x + y;P = xy\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\S.P = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 11 - P\\\left( {11 - P} \right).P = 30\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(\left( 1 \right):\)
\(\,11P - {P^2} - 30 = 0 \Leftrightarrow {P^2} - 11P + 30 = 0 \Leftrightarrow \left( {P - 5} \right)\left( {P - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 5 \Rightarrow S = 6\\P = 6 \Rightarrow S = 5\end{array} \right.\) ( tm \({S^2} \ge 4P\))
Với \(P = 5;S = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\x\left( {6 - x} \right) - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Với \(P = 6;S = 5\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 6\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\x\left( {5 - x} \right) - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\{x^2} - 5x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$
Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác $0$ của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5x - 2y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right.$
-
A
\(\left( {3;3} \right).\)
-
B
\(\left( {2;2} \right);\left( {3;1} \right);\left( { - 3;6} \right).\)
-
C
\(\left( {1;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right).\)
-
D
\(\left( { - 2; - 2} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( { - 6;3} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2.
+ Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích.
+ Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được \(x;y\)
Trừ vế với vế của hai phương trình ta được \({x^2} - {y^2} = 5x - 2y - \left( {5y - 2x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 7\left( {x - y} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 7\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 7 - y\end{array} \right.\)
+Với $x = y$ ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} = 5x - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 3\end{array} \right.\)
+Với \(x = 7 - y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2\left( {7 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} - 7y + 14 = 0\end{array} \right.\) (*)
Vì \({y^2} - 7y + 14 = {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) nên hệ (*) vô nghiệm.
Vậy nghiệm khác \(0\) của hệ là \(\left( {3;3} \right)\) .
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
-
A
\(6.\)
-
B
\(4.\)
-
C
\(2.\)
-
D
\(0.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2.
+ Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích.
+ Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được \(x;y\)
Trừ vế với vế của hai phương trình ta được
\({x^2} - {y^2} + y - x = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 - y\end{array} \right.\)
Với $x = y$ ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y = - 3\end{array} \right.\)
Với \(x = 1 - y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} + 1 - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} - y - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{21}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21} + 1}}{2}\\y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21} + 1}}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \(\left( {2;2} \right);\left( { - 3; - 3} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$có bao nhiêu nghiệm?
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$2$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Thêm bớt phương trình dưới để xuất hiện tổng \(x + y\) và tích $xy$
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$
+ Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\)
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.\)
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\) mà \({S^2} \ge 4P\) nên \(S = 3;P = 2\)
+ Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.
Biết cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của \(m\) để \(P = xy + 2\left( {x + y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A
\(m = - 1\)
-
B
\(m = - 2\)
-
C
\(m = 1\)
-
D
\(m = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Biến đổi phương trình để xuất hiện tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$
+ Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ đối xứng loại 1 : \({S^2} - 4P \ge 0\) để tìm điều kiện của \(m\)
+ Thay tổng $x + y$ và tích $xy$ vào \(P\) sau đó đánh giá \(P\) theo \(m\) .
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{m^2} - 2xy = - {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\xy = {m^2} - 3\end{array} \right.\)
Điều kiện để hệ trên có nghiệm là \({m^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 12 - 3{m^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\)
Khi đó thay \(x + y = m;xy = {m^2} - 3\) vào \(P\) ta được \(P = {m^2} - 3 + 2m = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge - 4\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) (thỏa mãn)
Vậy \({P_{\min }} = - 4 \Leftrightarrow m = - 1\)
Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\) có hai nghiệm $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ . Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
-
A
\( - 1\)
-
B
\(2\)
-
C
\(1\)
-
D
\(0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình đầu tiên sao cho xuất hiện \(x + y\) và $xy$
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$
+ Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\)
+ \(x;y\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ .
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\)
+ Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} - 3\left( {2 - 8S} \right) = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} + 24S - 25 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\\left( {S - 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P = - 6\end{array} \right.\)(thỏa mãn)
+ Suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - X - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 3} \right)\left( {X + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 3;{X_2} = - 2\)
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;3} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)
Từ đó \({x_1} = - 2;{x_2} = 3 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 1\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A
\(3\)
-
B
\(5\)
-
C
\(4\)
-
D
\(6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng cách giải của hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp:
+ Đặt \(y = tx\) sau đó biến đổi ta có phương trình ẩn \(t\)
+ Giải phương trình ta tìm được \(t\), từ đó ta tìm được \(x;y\) .
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = 8x + 2y\\{x^2} - 3{y^2} = 6\end{array} \right.\)
Vì thay \(x = 0\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - {y^3} = 0 + 2y\\0 - 3{y^2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = - 2\\ - {y^3} = 2y\end{array} \right.\) (vô lý) nên \(x = 0\) không là nghiệm của hệ .
Đặt \(y = tx\), Khi đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {t^3}{x^3} + 2tx\\{x^2} - 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - {t^3}} \right) = 2t + 8\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - {t^3}}}{{1 - 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {1 - {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Leftrightarrow 12{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
* \(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 1\end{array} \right.\).
* \(t = - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - x}}{4}\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}\\y = \mp \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}\end{array} \right.\).
Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: \((x;y) = \)\(\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\,\dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right);\,\left( { - \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\, - \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)\)
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
A
Hệ phương trình có nghiệm với mọi \(m\).
-
B
Hệ phương trình có nghiệm$ \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 $.
-
C
Hệ phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow m \ge \sqrt 8 $
-
D
Hệ phương trình luôn vô nghiệm.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Biến đổi hệ để xuất hiện tổng \(S = x + y;P = xy\) đưa về hệ đối xứng loại 1
+ Sử dụng điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$ để tìm điều kiện của \(m\) .
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\xy = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 4\\P = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}\end{array} \right.$
\( \Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 \).