Đề bài
Ta có bảng giá trị của hàm cầu đối với sản phẩm A theo đơn giá của sản phẩm A như sau:
|
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: Nghìn đồng) |
10 |
20 |
40 |
70 |
90 |
|
Lượng cầu (nhu cầu về số sản phẩm) |
338 |
288 |
200 |
98 |
50 |
a) Giả sử hàm cầu là một hàm số bậc hai theo đơn giá x , hãy viết công thức của hàm này, biết rằng \(c = 392\)
b) Chứng tỏ rằng hàm số có thể viết thành dạng \(y = f\left( x \right) = a{\left( {b - x} \right)^2}\)
c) Giả sử hàm cầu này lấy mọi giá trị trên đoạn \(\left[ {0;100} \right]\), hãy tính lượng cầu khi đơn giá sản phẩm A là 30, 50, 100
d) Cùng giả thiết với câu c) nếu lượng cầu là 150 sản phẩm thì đơn giá sản phẩm A là khoảng bao nhiêu (đơn vị: nghìn đồng)
Lời giải chi tiết
a) Theo giả thiết ta có hàm cầu có công thức tổng quát như sau:
\(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + 392\) với a, b là số thực và a khác 0
Thay các cặp số từ bảng đã cho ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}338 = a{.10^2} + b.10 + 392\\288 = a{.20^2} + b.20 + 392\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = - 54\\400a + 20b = - 104\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,02\\b = - 5,6\end{array} \right.\)
Vậy hàm cầu đã cho có công thức là \(y = f\left( x \right) = 0,02{x^2} - 5,6x + 392\)
b) Từ công thức đã tìm được câu a) ta có:
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = 0,02{x^2} - 5,6x + 392 = 0.02\left( {{x^2} - 2.140x + {{140}^2}} \right)\\ = 0,02{\left( {140 - x} \right)^2}\end{array}\) (đpcm)
c) Thay các đơn giá 30, 50, 100 tương ứng các giá trị x vào hàm cầu ta tính được lượng cầu như sau:
\(f\left( {30} \right) = 0,02{\left( {30} \right)^2} - 5,6.30 + 392 = 242\)
\(f\left( {50} \right) = 0,02{\left( {50} \right)^2} - 5,6.50 + 392 = 162\)
\(f\left( {100} \right) = 0,02{\left( {100} \right)^2} - 5,6.100 + 392 = 32\)
Vậy các lương cầu tứng ứng với các mức giá 30, 50, 100 (nghìn đồng) là 242, 162, 32 sản phẩm
d) Thay lượng cầu tương ứng với giá trị y ta tìm được x tương ứng (điều kiện \(x > 0\))
Thay \(y = 150\) vào phương trình hàm cầu ta có:
\(f\left( x \right) = 0,02{x^2} - 5,6x + 392 = 150 \Leftrightarrow {x_1} \simeq 226,6;{x_2} \simeq 53,4\)
Vậy khi lượng cầu là 150 sản phẩm thì đơn giá của 1 sản phẩm có thể gần bằng 53,4 (nghìn đồng) hoặc 226,6 (nghìn đồng)