Đề bài
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB).
a) Tính OA, OB,
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} \)
c) Tìm toạ độ điểm D.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5;OB = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\)
b) Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BD = 2AD\)
Do D thuộc AB nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BD} \) ngược hướng.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = - 2\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} } \right)\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OA} \end{array}\)
c) Gọi \(D({x_o};{y_o})\) từ b suy ra \(\;\left\{ \begin{array}{l}{x_o} = \frac{2}{3}{x_A} + \frac{1}{3}{x_B} = \frac{{14}}{3}\\{y_o} = \frac{2}{3}{y_A} + \frac{1}{3}{y_B} = \frac{{14}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\)