Video hướng dẫn giải
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:
LG a
\(a = -1\)
Phương pháp giải:
+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.
+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Thay \(a = -1\) vào hệ, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ {\left((-1)^2+1 \right)}x+ 6y = 2.(-1) & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ (1-3y)+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 -3y & & \\ 1 = -1 (vô \ lý )& & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.
LG b
\(a = 0\)
Phương pháp giải:
+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.
+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Thay \(a = 0\) vào hệ, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
\left( {0 + 1} \right)x + 6y = 2.0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x + 6y = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x = - 6y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6y + 3y = 1 \hfill \cr
x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3y = 1 \hfill \cr
x = - 6y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr
x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr
x = - 6. \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm \( {\left(2; -\dfrac{1}{3} \right)} \).
LG c
\(a = 1\)
Phương pháp giải:
+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.
+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Thay \(a = 1\) vào hệ, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
2x + 6y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr
x + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 - 3y + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 = 1\left( {luôn\,đúng} \right)\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)
Cách khác
a) \(a = -1\); b) \(a = 0\); c) \(a = 1\).
Phương pháp giải:
Biến đổi từ hệ phương trình ban đầu rồi sau đó mới thay các giá trị của a
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3y + 1\,\,\left( 1 \right)\\
\left( {{a^2} + 1} \right)x + 6y = 2a\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Từ (1) rút ra được x = 1 – 3y (*)
Thay vào phương trình (2) ta được :
\((a^2 + 1).(1 – 3y) + 6y = 2a\)
\(⇔ a^2 + 1 – 3(a^2 + 1)y + 6y = 2a\)
\(⇔ a^2 +1- 2a = 3a^2.y – 6y + 3y\)
\(⇔ ( a- 1)^2 = 3a^2y – 3y\)
\(⇔ 3(a^2 – 1).y = (a – 1)^2 \) (**)
a) a = -1, phương trình (**) trở thành : \(0y = 4\)
Phương trình trên vô nghiệm
Vậy hệ phương trình khi a = -1 vô nghiệm.
b) a = 0, phương trình (**) trở thành \(-3y = 1 ⇔ y = - \dfrac{1}{3}\)
Thay \(y = - \dfrac{1}{3}\) vào (*) ta được x = 2.
Vậy hệ phương trình khi a = 0 có nghiệm duy nhất \(\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
c) a = 1, phương trình (**) trở thành: \(0y = 0\)
Phương trình nghiệm đúng với mọi y.
Vậy hệ phương trình khi a = 1 có vô số nghiệm dạng \((1 – 3y; y)\) (y ∈ R).
soanvan.me