Video hướng dẫn giải
Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:
LG a
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1& & \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn. Đặt \(u =\dfrac{1}{x},\ v =\dfrac{1}{y}\)
Phương pháp giải:
Phương pháp đặt ẩn phụ:
+) Đặt điều kiện (nếu có)
+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
+) Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.
+) Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Điền kiện \(x ≠ 0, y ≠ 0\).
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} & & \\ v = \dfrac{1}{y} & & \end{matrix}\right.\) (với \(u \ne 0,\ v \ne 0\) ).
Hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u - 3v = 3 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3u - 3v - \left( {3u + 4v} \right) = 3 - 5\\
3u + 4v = 5
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v = -2 & & \\ 3u = 5- 4v & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ 3u = 5- 4.\dfrac{2}{7} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ u = \dfrac{9}{7} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn )\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}& & \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{7}{9}& & \\ y = \dfrac{7}{2}& & \end{matrix}(thỏa\ mãn )\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \( {\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2} \right)}\).
LG b
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn. Đặt \(u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}\).
Phương pháp giải:
Phương pháp đặt ẩn phụ:
+) Đặt điều kiện (nếu có)
+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
+) Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.
+) Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x-2 \ne 0 & & \\ y-1 \ne 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \ne 2 & & \\ y \ne 1 & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x -2} & & \\ v = \dfrac{1}{y -1} & & \end{matrix}\right.\) (với \(u \ne 0,\ v \ne 0\) ).
Hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 2v = 4 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2u + 2v - \left( {2u - 3v} \right) = 4 - 1\\
u + v = 2
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5v = 3 & & \\ u+v=2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-v & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-\dfrac{3}{5} & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=\dfrac{7}{5} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x -2} = \dfrac{7}{5}& & \\ \dfrac{1}{y -1} = \dfrac{3}{5}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x -2 = \dfrac{5}{7}& & \\ y - 1 = \dfrac{5}{3}& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{5}{7}+ 2& & \\ y = \dfrac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{19}{7}& & \\ y = \dfrac{8}{3}& & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \( {\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{8}{3} \right)}\).