Giải các phương trình sau:
LG a
\(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\) để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)
Giải phương trình ẩn \(t\) ta tìm được \(t\) từ đó so sánh điều kiện để tìm ra \(x.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \({x^2} = t\,,t \ge 0\) ta có \(9{t^2} - 10t + 1 = 0\)
Phương trình này có \(a + b + c = 9 + \left( { - 10} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {\,thỏa\,mãn} \right)\\t = \dfrac{1}{9}\left( {\,thỏa\,mãn} \right)\end{array} \right.\)
+ Với \(t = {t_1} = 1\) ta có \({x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
+ Với \(t = {t_2} = \dfrac{1}{9}\) ta có \({x^2} = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt \(x = 1;x = - 1;x = \dfrac{1}{3};x = - \dfrac{1}{3}\).
LG b
\(5{x^4} + 2{x^2} - 16 = 10 - {x^2}\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)
Giải phương trình ẩn \(t\) ta tìm được \(t\) từ đó so sánh điều kiện để tìm ra \(x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(5{x^4} + 2{x^2} - 16 = 10 - {x^2}\)\( \Leftrightarrow 5{x^4} + 3{x^2} - 26 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình \(5{t^2} + 3t - 26 = 0\)
Ta có \(\Delta = {3^2} - 4.5.\left( { - 26} \right) = 529 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt \Delta = 23\)
Phương trình có hai nghiệm \(t_1 = \dfrac{{ - 3 + 23}}{{2.5}} = 2\left( {\,thỏa \,mãn} \right);\) \(t_2 = \dfrac{{ - 3 - 23}}{{2.5}} = - \dfrac{{13}}{5}\left( \, loại \right)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 .\)
LG c
\(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)
Giải phương trình ẩn \(t\) ta tìm được \(t\) từ đó so sánh điều kiện để tìm ra \(x.\)
Lời giải chi tiết:
\(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^2} + 5 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình \({t^4} + 6{t^2} + 5 = 0\)
Nhận thấy phương trình này có \(a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên nó có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\left( \,loại \right)\\t = - 5\left( \,loại \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý:
Ta cũng có thể nhận xét rằng vế trái bằng \({x^4} + 6{x^2} + 5 \ge 5\) còn vế phải bằng 0 nên phương trình vô nghiệm.
LG d
\(2{x^2} + 1 = \dfrac{1}{{{x^2}}} - 4\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)
Giải phương trình ẩn \(t\) ta tìm được \(t\) từ đó so sánh điều kiện để tìm ra \(x.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện : \(x \ne 0.\)
Khử mẫu và biến đổi ta được
\(\begin{array}{l}2{x^4} + {x^2} = 1 - 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^4} + 5{x^2} - 1 = 0\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta có \(2{t^2} + 5t - 1 = 0\)
\(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2\left( { - 1} \right) = 33 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{4}\left( \,nhận \right)\\t = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{4}\left( \,loại \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{4} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \\x = - \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \)
soanvan.me