Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
LG a
\(3{\left( {{x^2} + x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + x} \right) - 1 = 0\)
Phương pháp giải:
Chọn ra phần biểu thức chứa biến giống nhau để đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc hai.
Giải phương trình bậc hai và thay lại cách đặt để tìm nghiệm phương trình đã cho.
Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có phương trình \(3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} + x\) ta có \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\)
Vì phương trình \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\) có \(a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({t_1} = 1;{t_2} = - \dfrac{1}{3}\)
+ Với \({t_1} = 1\) ta có \({x^2} + x = 1\) hay \({x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\)
+ Với \({t_2} = - \dfrac{1}{3}\)ta có \({x^2} + x = - \dfrac{1}{3}\) hay \(3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
\(\Delta = {3^2} - 4.3.1 = - 3 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) .
LG b
\({\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\)
Phương pháp giải:
Đặt \({x^2} - 4x + 2 = t\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} - 4x + 2\) ta có \({t^2} + t - 6 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5\) nên có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2;\) \({t_2} = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\)
+ Với \({t_1} = 2\) ta có \({x^2} - 4x + 2 = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)
+ Với \({t_2} = - 3\)ta có \({x^2} - 4x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 = - 4 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0;x = 4.\)
LG c
\(x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7\)
Phương pháp giải:
Đặt \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện : \(x \ge 0\)
\(x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7 \)\(\Leftrightarrow x - 6\sqrt x - 7 = 0\)
Đặt \(\sqrt x = t\,,t \ge 0\) ta có \({t^2} - 6t - 7 = 0\) có \(a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({t_1} = - 1;\) \({t_2} = 7\)
Vì \(t \ge 0\) nên \({t_1} = - 1\) bị loại
Với \({t_2} = 7\) ta có \(\sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 49.\)
LG d
\(\dfrac{x}{{x + 1}} - 10.\dfrac{{x + 1}}{x} = 3\)
Phương pháp giải:
Đặt \(\dfrac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\dfrac{x}{x+ 1} = t\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\)
Đặt \(\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}\) , ta có \(t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 7\) nên có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5;\) \({t_2} = \dfrac{{3 - 7}}{2} = - 2\)
+ Với \({t_1} = 5\) ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} = 5\)
Khử mẫu thức ta được \(5x + 5 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left( {TM} \right)\)
+ Với \({t_2} = - 2\) ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} = - 2\)
Khử mẫu thức và biến đổi ta được \(x = - 2x - 2 \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = - \dfrac{5}{4};x = - \dfrac{2}{3}.\)
soanvan.me