Đề bài
Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn \(a \approx 149.598.261\) km và tâm sai \(e \approx 0,017\). Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm \({F_1}\) của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:
\(M{F_1} = a + ex\) với \(x\)là hoành độ biểu diễn Trái Đất là \( - a \le x \le a\)
Vì \( - a \le x \le a\) nên \(a + e\left( { - a} \right) \le a + \frac{c}{a}x \le a + e\left( a \right) \Leftrightarrow a - ae \le a + \frac{c}{a}x \le a + ae\)
Với bán trục lớn \(a \approx 149\;598\;261\) km và tâm sai \(e \approx 0,017\), ta có:
\(147\;055\;090 \le M{F_1} \le 152\;141\;431\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147 055 090 km và 152 141 431 km.