Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và \(9\) giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: +) Quy ước chảy đầy bể là \(1\).

          +) Một vòi chảy đầy bể trong \(x\) giờ thì trong \(1\) giờ chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể. 

Lời giải chi tiết

Đổi \(4\dfrac{4}{5}\) giờ  \(=\dfrac{5.4+4}{5}\) giờ \(=\dfrac{24}{5}\) giờ

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > \dfrac{24}{5})\). 

      \(y\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > \dfrac{24}{5})\).

Trong \(1\) giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Suy ra trong \(1\) giờ, cả hai vòi chảy được: \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ = \(\dfrac{24}{5}\) giờ nên trong \(1\) giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{5}{24}\) bể.

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}\)  (1)

Trong \(9\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy \(9h\) sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:

\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)

\( \Leftrightarrow  9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)

\( \Leftrightarrow  \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\
51a + 6b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\
6a + 6b = \dfrac{5}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
45a = \dfrac{{15}}{4}\\
a + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
\dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau \(8\) giờ bể sẽ đầy.

Cách khác:

Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể).

Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong \(4\dfrac{4}{5} = 4,8\) giờ đầy 1 bể nên ta có phương trình: \(4,8x + 4,8y = 1.\)

+ Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể)

Sau \(\dfrac{6}{5} = 1,2\) giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: \(1,2 (x + y)\) (bể)

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: \(9x + 1,2(x + y) = 1.\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
9x + 1,2\left( {x + y} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
10,2x + 1,2y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y - \left( {4,8x + 4,8y} \right) = 4 - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
36x = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
4,8.\dfrac{1}{{12}} + 4,8y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
y = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)

⇒ một giờ vòi hai chảy một mình được \(\dfrac{1}{8}\) bể

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. 

soanvan.me