Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD, AB.\) Đường chéo \(BD\) cắt \(AI, CK\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng:
a) \(AI // CK\)
b) \(DM = MN = NB\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+) Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+) Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
a) \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//DC\) và \(AB=DC\)
Tứ giác \(AICK\) có
\(AK//IC\) (vì \(AB//DC\))
\(AK=IC\) (vì \(AK = \dfrac{1}{2}AB,\,IC = \dfrac{1}{2}DC,\)\(AB = DC)\)
Do đó \(AICK\) là hình bình hành, suy ra \(AI // CK\).
b) \(∆DCN \) có \(DI = IC\) và \(IM // CN\) (câu a) nên \(DM=MN\)
Chứng minh tương tự đối với \(∆ABM\) ta được \(MN=NB\)
Vậy \(DM = MN = NB\)
Chú ý: Xét \(∆ABM\) có \(AK = KB\) và \(KN // AM\) ( vì \(AI // CK \)) \(\Rightarrow MN = NB \)
soanvan.me